miércoles, 28 de septiembre de 2016

DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA 2... CUADRADO, TRIÁNGULOS Y MEDIANA

En el estado de Durango operó de manera regular hasta 2016 un componente del proyecto de innovación que implementó la Secretaría de Educación  a nivel estatal encaminado a la realización de tutorías para mejorar los aprendizajes en lectura, escritura y matemáticas. Una de la formas de trabajar fue la capacitación de los tutores en una de sus unidades o ciide (centro de investigación e innovación para el desarrollo educativo). Dentro de las sesiones, en un momento de propuestas y compartimiento un compañero nos planteó que desarrolláramos un guion de trabajo a partir del siguiente problema: Demostrar que se puede establecer o identificar el área de un triángulo dentro de un cuadrado sin realizar operaciones aritméticas.

Al mismo tiempo —agregó—, serviría de diagnóstico para estudiar algunas propiedades y características del cuadrado y triángulo. Nos pareció interesante la idea del compañero y nos enfocamos a analizar su probable desarrollo y resultado. De esa acción surge el interés de presentarlo a ustedes, ¿cuál interés? Del resultado que surge y los caminos que empezamos a tomar para su explicación. Al haber tenido un acercamiento previo a una tarea similar con el tema que se trabajó en este blog, tenía una idea para presentar una propuesta; pero lo que intento mostrar es el camino que seguían los compañeros al querer obtener otras estrategias para ofertarla a los colegas.

Lo sucedido fue que empezaron a tomar el camino de la realización de operaciones, pero nos estamos adelantando, cuáles eran las consignas que nos dieron:
1.      Construir un cuadrado (hipotético) que mida una unidad (1 u) por lado.
2.      A cada vértice identificarlo con una letra (A, B, C, y D).
3.      Dibujar una (línea) diagonal del punto A al punto C.
4.      En la parte media de AC, marcar un punto y denominarlo E.
5.      Del punto D trazar una línea hasta E.
6.      En la parte media de la línea A y E calcar un punto y denominarlo F.
7.      Trazar una línea de D a F.
8.      Identificar el triángulo ADF.
9.      Consigna: Demostrar que se puede establecer el área del triángulo ADF sin ejecutar operaciones aritméticas.

Lo que comparto es la experiencia de la citada reunión y otras dos sesiones donde se presentó a varios compañeros docentes la propuesta. En un principio se ejecutaban operaciones aritméticas, algunas deducciones mentales pero en ninguna se establecía con certidumbre un resultado. Se llegaba a uno pero con dudas. Cabe aclarar que se ha presentado la idea a nivel personal en algunos cursos donde colaboro y el guion no sé si fue usado por los demás asistentes a dicha reunión en sus respectivos ámbitos. Por qué comento que la consigna es un cuadrado hipotético, porque se puede dibujar un cuadrado cualquiera (y grande) y establecer arbitrariamente su medida en una unidad por lado.

Qué elementos o propiedades nos permiten trabajar: a) identificación del cuadrado y triángulo, b) propiedades de las figuras por su forma (lados o ángulos), c) uso de elementos para los vértices (uso de mayúsculas), d) manejo de segmentos diagonales en un cuadrado y mediana en triángulos… entre otras propiedades que son factibles y de hecho están sugeridas en la propuesta curricular 2016 como tema. La representación de la figura no generaba algún problema, incluso llevar mentalmente estrategias para exponer resultados. Algunas soluciones fueron: “Si el área del cuadrado es 1 u2, la diagonal nos indica que el área del triángulo (ACD isósceles) es .5 de una u2, por tanto el segmento DE forma dos triángulos rectángulo (ADE y CDE) con área .25 de una u2 c/u, el segmento DF nos revela la formación de dos triángulos (DEF rectángulo y ADF escaleno)… concluyendo así que era .125 una u 2.

La misma explicación fue iniciada por otro compañero, su comentario iba en sentido de establecer números fraccionarios: De un entero (1 u2) se obtiene ½ de una u2 con la diagonal, la otra media diagonal nos forma dos triángulos rectángulos de ¼  de una u2 cada uno, y de los dos triángulos obtenidos al dibujar el segmento DF en uno de los triángulos rectángulos (se vuelven a formar dos triángulos, uno rectángulo y otro escaleno) permitía deducir que el área del triángulo ADF era 1/8 de una u2.

Como tercera propuesta esta lo siguiente que se puede ver en la figura de abajo:  


Se podrá debatir qué tiene de interesante o novedoso lo anterior… al estar diseñando los pasos de solución surge el interrogante de cómo se estaba seguro que el triángulo ADF (triángulo escaleno) era un octavo, del total del cuadrado. Entonces se lanza la observación —como cuestionamiento—, si el triángulo DEF (triángulo rectángulo) tendría igual área que el triángulo ADF. La duda se generaliza porque algunos empiezan a observar que al triángulo rectángulo se le podrían establecer medidas bajo otros procesos aritméticos… pero cómo se le haría para el triángulo de la consigna si es escaleno y su base —decían— es 1… es decir estaban tomando como base el segmento AD y querían establecer la altura de un punto de dicho segmento (cercas de A) hacia F y eso creó la confusión, y deliberaban qué medida darle.

Claro que en el ensayo-error surge al observar el triángulo rectángulo DEF que su base o altura se establecen en los segmentos  DF y EF. Siendo la base EF, encontramos igualdad con la línea AF del triángulo escaleno ADF y la altura de ambos sería DE… altura natural del triángulo rectángulo DEF y altura prolongada del triángulo escaleno. Pero aún seguía la necesidad de encontrar o demostrar mediante una operación aritmética que se ejecuta al establecer la medida de la hipotenusa del triángulo ACD, en este caso el segmento AC (1.414213562373095 u) para de ahí dividir y conocer la medida de AE (0.7071067811865475 u) y posteriormente las medidas de EF que sería igual a AF (0.3535533905932738 u) los números obtenidos son arrojados mediante calculadora.

Se comprueba que (0.3535533905932738 x 0.7071067811865475) arrojan 0.25 y dividido entre dos 0.125, pero eso ya se había deducido. ¿Por qué se sentía esa necesidad de comprobar? Aquí es donde podemos echar mano a la teoría de H Aebli, que hay una laguna de conocimiento que seguimos arrastrando porque hay saberes que deberían ser indudables. A un nivel o bajo una dimensión académica surgió lo anterior, nos hizo alertarnos sobre la necesidad de actualizarnos… ¿qué estábamos omitiendo? Estábamos eludiendo un conocimiento que ahí estaba, una de las propiedades de un triángulo es que al trazar un segmento o línea de un vértice al punto medio del lado opuesto se divide en dos triángulos de igual área aunque no necesariamente de igual forma… por eso el triángulo DEF evidentemente es igual al triángulo ADF pero no lo podíamos establecer así desde un primer momento.

Espero  a quien lea esto no haberlo enredado. Un saludo y ojalá realicen comentarios.

lunes, 2 de mayo de 2016

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2016... EL TREN... VALIDAR PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS

Una de las cuatro competencias matemáticas que vienen en el Plan de Estudios 2011 (de México) en su página 71 es: "Validar procedimientos y resultados. Consiste en que los alumnos adquieran la confianza suficiente para explicar y justificar los procedimientos y soluciones encontradas, mediante argumentos a su alcance que se orienten hacia el razonamiento deductivo y la demostración formal." Esta competencia centrada en ejecutar las herramientas y habilidades del alumno para llegar a encontrar una solución a un problema planteado es la que propongo en la explicación de la respuesta a la cuestión realizada en la pregunta 22 del examen de la OCI (Olimpiada del Conocimiento Infantil) 2016 sin pretender sea la única forma y reconociendo no se llega a la solución exacta pero sí a la más próxima y ateniéndome a que el resultado que guarden los diseñadores del instrumento sea otro.

Partiendo de conocimientos generales que supuestamente el alumno debe dominar para inferir la respuesta amoldándose al hecho que son aproximadamente dos minutos y medio por problema para elegir una opción en este instrumento. Los datos fijos donde descansa la solución son: medida del tren, 25 metros; medida del túnel, 25 metros; tiempo que recorre en un segundo, 83.3 m, (el resultado se refiere a segundos). Datos adicionales que se involucran: medida de la hora, 1 hora = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos; 1 segundo =  10 decisegundos ó 100 centisegundos... La explicación nos lleva a concluir que el tren recorre 8.33 m en un decisegundo.

La explicación descansa más en lo gráfico que a la realización de operaciones, éstas (las  operaciones) se ejecutan en un plano mental o con el mínimo de datos por obviar tiempo (no el tiempo en este tema, sino al hecho que el niño debe encontrar una rápida respuesta). En la figura de arriba que acompaña este párrafo, se representa al tren con su medida de 25 metros y el túnel también de 25 metros y las líneas rojas la parte donde estará la punta del tren al pasar un decisegundo.

Al correr un decisegundo se verá así.



Así se vería al recorrer dos decisegundo.


De esta manera al viajar tres decisegundos. La figura e imaginación nos permiten entender que está dentro del túnel.



Cuando inicia el cuarto decisegundo va saliendo del túnel y su parte trasera está como lo muestra la imagen. 



En el quinto decisegundo estaría en esta posición.



 Y en el sexto decisegundo estaría abandonando el túnel la parte trasera del tren... para cumplir en que sale totalmente el paso como se plantea en la interrogante del reactivo.


Matemáticamente y yéndonos al extremo al viajar a 8.33 m por decisegundos la punta del tren habría recorrido 24. 99 metros... eso sería la punta pero estaría totalmente adentro del túnel como se explica anteriormente; para que su cabús o cola del tren como coloquialmente se le dice a este medio de transporte en peligro de extinción se hacen necesarios otros tres decisegundos para que abandone el corredor.

Dejo aquí este aporte, esperando sea útil como propuesta de encontrar la respuesta pedida, sin embargo quedo a observaciones o sugerencias de quien tenga a bien leerme.

lunes, 25 de abril de 2016

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2016... LA LONA Y LOS QUESOS... FRACCIONES PARTE-TODO

La olimpiada del conocimiento 2016 incluye en sus reactivos dos tareas que introduce el manejo de fracciones. La pregunta 26 está encaminada a encontrar una parte de un todo en una figura regular dada; cumple con las características para que el alumno realice el ejercicio y "parta" equitativamente ya sea figuradamente o con trazos en su cuadernillo. Al necesitar medir o calcular ocupará mentalmente representar una parte y eso se lo proporciona la imagen; recordando que el alumno tiene tiempo límite, el instrumento aplicado constó de 60 preguntas e incluso si se les diera 3 horas para contestar el promedio son 3 minutos por cada cuestión, entonces lo lógico es observar la parte recortada en la figura B dentro de examen y que la figura A muestra como un triángulo. 3 minutos... dijimos se tiene en promedio apara contestar cada una de las 60 preguntas. Es la razón en la que nos basamos para reconocer que el alumno debió haberse ejercitado en formar figuras dadas mediante secuencias o superposición; ejemplo, en la figura A es recortado un triángulo, si este mismo triángulo es mentalmente superpuesto como lo muestra la imagen siguiente, el niño probablemente habría encontrado una opción válida para su respuesta.

Como decimos se necesitan respuestas rápidas con certeza y la cuestión es ver si fue ejercitado lo anterior, en una vista a vuelo de pájaro a los desafíos matemáticos no encontré uno que se aproximara a lo que en esta ocasión necesitaba el alumno para hacer analogías y aplicarlas a la tarea. Vayamos a la figura, si observamos la superposición del triángulo superior de color azul verde, su desdoblamiento nos permite apreciar otros tres del mismo color y  por tanto esa secuencia es la que le permite entender que hay cuatro triángulos azule y se puedan percibir cuatro rojos, con esto se concluye que el triángulo cortado a la lona de la mula narrado en el problema corresponde a 1/8 de la fracción total de la lona original y permite deducir que la respuesta es la opción D.

El segundo reactivo que involucra fracciones es el 28,  en el se aprecia una secuencia cronológica que se espera el alumno domine como parte de la comprensión del planteamiento. Iniciamos con establecer que medio queso es la parte comestible... doña Bertha se lleva 1/4 de la mitad, la última figura nos hace comprender que 1/4 de 1/2 en realidad es 1/8 de el queso completo. La parte que adquiere la señora es partida en tres porciones iguales, toma una porción para sus enchiladas.

Si la parte que compró doña Bertha se puede dividir en 3 porciones equivalentes, en el medio queso se podrían haber obtenido 12 porciones, en el queso completo respetando la forma de partir de la señora se habrían obtenido 24 porciones iguales... entonces, si una porción fue suficiente para el platillo, el resultado a la pregunta es 1/24 de todo el queso y esa sería la opción correcta.

El afán de este tema presenta una explicación que permita a quien esté consultando una respuesta que pueda convencerlos, y analizando la dificultad que representa, en este caso cuando son niños de escuelas multigrados quienes son enfrentados a estas preguntas similares y no tuvieron una preparación con tareas también semejantes comprender las dificultades que viven. 



martes, 12 de abril de 2016

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2016... LAS MEDICINAS DE "CHOCOLATE"... VER DESAFÍO MATEMÁTICO 73 "LOS MEDICAMENTOS" DE SEXTO GRADO

figura 1

La Olimpiada del Conocimiento Infantil (OCI) 2016 nos muestra como primer problema de matemáticas la pregunta que se visualiza en la figura 2. Atiende a un contenido del III bloque del programa y justamente su tratamiento inicia en las tareas del libro de desafíos en la lección 37 que introduce al manejo de los múltiplos de números enfatizando los números pares.

Las tareas que debió haber realizado el alumno para apropiarse del contenido inician con el análisis de una tabla pitagórica para observar las características del los múltiplos de cada número. Con algunos esquemas de conjuntos lleva directamente a localizar los múltiplos que son comunes a dos números... el contenido se logra complementando la lección 38 donde se maneja cómo localizar algún múltiplo de un número ya sea multiplicando o realizando una división; no se extiende más al respecto ya que esta primera intención es localizar contenido y desafíos que debió haber estudiado el alumno para contestar la pregunta del instrumento OCI. 



En el desafío 73 del libro de sexto grado está planteado el problema de manera similar con el tema los medicamentos... ahí no habla del burro llamado "Chocolate", la trama habla de la señora Clara que le recetó un médico tabletas con las mismas horas entre cada toma, sólo cambia el día de inicio de la primera toma que es el viernes a las 8 de la mañana...


figura 2
"Chocolate" el burro que se narra en el texto principal del examen debía ser medicado. la trama de la pregunta lleva a reflexionar al niño para ubicar el día y hora que debía administrar los tres medicamentos después de pasar 72 horas de iniciado el tratamiento. La pregunta está diseñada y narra las condiciones precisas para que el evento ocurra en el supuesto de tres días, la primera toma se ejecuta a las 8 de la mañana del lunes y la pregunta dice tres días, algunos alumnos murmuraron que entonces debía ser lunes, martes y miércoles aunque después se fijaron en las respuestas que no venía el miércoles... pero lo que aquí se pretende es mostrar como ayudar a personas interesadas padres o maestros una manera de acceder a la opción correcta sin decir que sea el único camino.


Para dar una explicación gráfica, se elabora las tablas que se muestra debajo de este párrafo. En la primera tomando la graduación de la regla como las horas de un día y con los saltos de rana los momentos en que se da determinado medicamento al jumento, dos medicamentos coinciden cada 12 horas y los tres medicamentos cada 24 horas del día siguiente. Esta primera pista podría llevar a inferir a algunos niños a la posible respuesta ya que 24 horas que es un día multiplicado por 3 cumple con las 72 horas redactadas en el planteamiento.


figura 3

figura 4
figura 5

Que elementos podrían distraer al alumno, primero que cuente los días cronológicamente, es decir si dice que empieza el lunes, segundo que no entienda el niño que el doctor se refiere al equivalente de tres días y que debe hacer uso de su imaginación... en este caso el primer día inicia para efectos de aplicar la medicina a las 8 de la mañana del lunes y se cumple a las 8 de la mañana siguiente (martes), el segundo día también se cumple a las 8 de la mañana del miércoles y el tercer día a las 8 de la mañana del jueves. 


figura 6
En la tabla de la figura 6 nos muestra el múltiplo común de 6, 8 y 12 que son las horas de dar cada toma al burro "Chocolate". Estableciendo la coincidencia de que cada 24 horas se debería dar de nuevo los tres medicamentos, el alumno tendría motivos para asegurar la respuesta; pero este análisis durante el examen debe ser rápido y el limite de tiempo los angustiaba, el alumno debe recordar los ejercicios similares que le permitan hacer la analogía con el problema planteado y si no se dio el caso o se trató el tema en sus aulas son pocas las posibilidades de resolverlo.

La sede donde me correspondió observar la resolución del instrumento OCI, fue el poblado Neveros, San Dimas, Dgo., sede observada también el 2015. Las escuelas que acudieron son de tipo multigrado y las diferencias eran notorias, algunos niños se preocupaban más por rellenar la hoja de respuesta y no necesariamente en la opción correcta, pero eso es otra historia.

Espero sea de interés lo aquí tratado y sus comentarios u observaciones.