En la resolución de
problemas donde se implica la fracción, otra estrategia de solución la
encontramos dentro del concepto de razón,
se emplean principalmente en situaciones de proporcionalidad y conecta
multiplicativamente a dos números resultando una comparación entre ellos.
Para trabajar con los
alumnos de primaria este aprendizaje, primero se debe de apropiar del concepto empleando
gráficos, este primer paso les permitirá regresar y reconectar sus ideas en
caso de algún descuido en el proceso.
Veamos el siguiente
ejemplo:
Problema: En un corral hay 63 ovejas, algunas son
blancas y otras negras. Si de cada 9 hay 3 negras, cuántas ovejas negras son en
total.
Primer paso… representar
las ovejas con dibujos. Ver la suma total de ovejas negras y blancas, son 63.
Ver la totalidad de las ovejas negras 21, ese es el resultado obtenido
directamente.
Segundo paso… el ejemplo
anterior se debe empezar a practicar desde que son introducidas las fracciones
formalmente a la escuela y un segundo momento sería así:
Entendiendo si de cada 9
ovejas, 3 son negras, se conforma un conjunto de nueve y en cada bloque se
representan los animales con las letras N
y B. después se divide 63 entre 9,
el resultado es 7, se ejemplifica con cantidades manejables hasta y se sube el
grado de dificultad.
En el caso anterior fue
fácil reconocer el número de bloques que tendría el conjunto, pero el alumno se
podría confundir con el planteamiento. Por lo que se recomienda enfrentarlo a
ello, si se hubiese redactado de la siguiente manera: por cada 6 ovejas blancas hay 3 negras, si en el corral hay 63 ovejas,
¿cuántas ovejas negras hay?
El ejemplo gráfico sería
el mismo, 6 + 3 = 9. El conjunto se representaría con 9 bloques, aquí se debe
entender que no dice cuantos bloques tiene el conjunto, este se deduce de
juntar las ovejas de ambos colores.
Tercer paso… representar
con fracciones, entendido lo anterior y después de varios ejercicios hasta la
consolidación, se sugiere pasar al uso de la estrategia con números, en este
caso la fracción, ya que una vez estando en posición de contestar exámenes,
sería muy laborioso emplear gráficos y aquí la pretensión es usar la fracción
como estrategia de solución, en esta ocasión la fracción… como razón.
Total de ovejas por fila
9 Total de ovejas
en el corral 63
Es
necesario encontrar el número que nos falta, se puede hacer con la regla de 3,
multiplicando 63 por 3 que da 189 y dividiendo entre 9 es 27… 27 son las
ovejas negras. Pero también se puede hacer de la siguiente manera como se
muestra en la figura.
El
7 es el número que iguala proporcionalmente ambas fracciones, al multiplicar el
denominador donde la fracción está completa (9), el resultado es el otro denominador…
9 X 7 = 63, eso indica que el 3 multiplicado por 7 nos dará el número que
buscamos, en este caso el 21.
Se
debe enfatizar que siendo el conjunto en total de 63 elementos, el 7 es el que
nos permitió encontrar la proporción reflejada en las fracciones 3/9
y 21/63 que a su vez son
equivalentes, y lo que nos ayudó a resolver el problema es el número que
faltaba al multiplicar 3 X 7.
Apliquemos
la estrategia a un manejo de cantidades más elevado. Analiza el siguiente
ejemplo y subraya la respuesta correcta...
En el pueblo de El Llano hay 840
habitantes, por cada 7 mujeres hay 5 hombres, ¿Cuántas mujeres hay en total en
el pueblo?
a) 120 b) 160 c) 490d) 833
Si
observas, los problemas que se les plantean a los alumnos se pueden resolver de
diferentes maneras, la propuesta de que se emplee la fracción en esta situación
nos permitió conocer cómo auxiliarse de ella, ahora resta practicar y variar
los planteamientos, el espacio aquí es corto y únicamente es una introducción
esperando se entienda así.
Las fracciones o números fraccionarios son aquellos que se representan
comúnmente con dos números divididos por una línea como en el ejemplo siguiente:
¼, ½ ó ¾ y representan el cociente de dos números enteros; es decir, representa
la división de dos números y en sí es ya una solución, al número anotado arriba
se le llama numerador y al anotado en
la parte de abajo denominador.
Cuando se analiza las partes de la división, al resultado que se
busca se le llama cociente, entonces aquí entenderemos que cociente y resultado son
sinónimos.
En este trabajo se pretende que el alumno entienda que la
utilización de números fraccionarios puede ser ventajosa para resolver
problemas donde se involucre el reparto.
Cuando las respuestas que obtienen los alumnos en la resolución de problemas con
fracciones no son acertadas, se consideran entonces éstas de dos tipos: epistemológicas y didácticas, las
primeras consisten en aplicar propiedades de los números naturales al contestar
y las segundas cuando se trabajan sólo una unidad y ahí se enseñan las
fracciones.
En la fracción como cociente, se involucran dos enteros o se puede
entender como dos conjuntos distintos que representan dos enteros. Para que
llegue a eso el alumno debe practicar gráficamente hasta apropiarse del
concepto que consiste en deducir eso… que la fracción ya escrita es un resultado.
En el siguiente ejemplo se puede iniciar en el manejo de dicho
concepto que será a su vez estrategia de solución de problemas.
El día de hoy Ana recibe la visita de 4
niños, y cuenta con 3 barras de chocolate como las que se muestran en las
imágenes, ¿qué cantidad le tocará a cada uno sin que sobre nada y se repartan la
misma cantidad?
Pasos…
1.Entender qué entero o conjunto de elementos
se quiere repartir, en este caso los
chocolates serán el primer objeto de atención, como se van a repartir entre
cuatro niños, se dividen en cuartos.
2.Ahora se señala la cantidad
que le toca de cada barra por cada niño, observa que a cada uno le tocan dos
pedazos que representan un cuarto de barra.
3.Entonces, ahora sí se debe entender que a
un niño le toca un cuarto de la primera barra, un cuarto de la segunda barra y
un cuarto de la tercera barra. En total si los junta serían tres cuartos de una
barra como se muestra en la ilustración de abajo.
4.Para llegar a esa conclusión, primero se
debe comprender que a cada niño le tocó un cuarto en cada barra, al
comprobar que serían de él tres cuartos de barra, puede de un chocolate tomar
los tres cuartos juntos cuya cantidad es igual, la forma de repartirse en sí
sabiendo lo que les toca es ya otro problema que no debe afectar al resultado
descubierto que es: a cada niño le corresponden ¾ (tres cuartos) de barra.
Comprendido lo anterior, si ya te apropiaste del concepto de
cociente igual a resultado, podrás entender que si se piensa en qué
se va a repartir y se coloca en el lugar del numerador; y también ya se
tiene identificado entrequé o quién se va a repartir y se
coloca en el lugar del denominador, ya resolviste el problema… en eso consiste
la estrategia, apropiarte del concepto y emplearlo para resolver problemas,
veamos el esquema de abajo.
En el caso anterior, a diferencia del
primero les toca a cada uno 14/8 que es más de una pizza,
pero ya saben el resultado que es catorce octavos, si se quiere simplificar
entonces tendría que hacer lo siguiente: 14/8 = 7/4
= 1 ¾, cada persona se comió una pizza y tres cuartos de otra. Veamos el
siguiente ejemplo:
Si
en la mesa hay 64 manzanas y se quieren empaquetar en 6 canastas, ¿cuántas
manzanas le corresponderían a cada canasta de forma que todo se reparta igual?
La división nos arrojaría que son 10 manzanas por canasta y sobran
cuatro que al repartirlas sería 4/6 para cada una, que es lo mismo 2/3, así que el resultado es: en cada
cesta habrá 10 manzanas más 2/3 de una.
El concepto tiene que ir desde la comprensión gráfica hasta la
correcta colocación de los números en la fracción, posteriormente cuando se
entiende que el problema está resuelto pero se tiene que ser más específico
como en los ejemplos posteriores, se acude a otra estrategia que es la
simplificación de la fracción.
Las variaciones que se les puede dar
posteriormente a los planteamientos pueden ser como el siguiente:
Del caso 1
El día de hoy Ana recibe la visita de 4
niños, y cuenta con 3 barras de chocolate como las que se muestran en las
imágenes, ¿qué cantidad le tocará a uno sin que sobre nada?
Sí los últimos dos niños son hermanos y se quieren llevar lo
que les corresponde a casa, ¿qué cantidad le tendrían que dar al papá de ellos
para después repartírselas por igual?
O, si llegara otro niño, ¿Cuál sería la
cantidad a repartir equitativamente?
Ya entran en función más formas de responder en el segundo y tercer planteamiento como:
A cada niño le toca ¾, para dos serian... ¾
más ¾ = 6/4 = 3/2
= 1 ½.
Y ese es el resultado: a cada uno le toca 3/5
de chocolate.
Espero se haya cumplido el propósito de emplear
a la
fracción como cociente como estrategia para solucionar problemas En los comentarios hacen la siguiente pregunta de Celi García... nos dice que es una adivinanza.
¿Cuántas manzanas tienes, si cuando las reparten entre dos niños les toca cuatro manzanas más a cada uno que cuando las repartes entre cuatro niños, y si las repartes entre cuatro niños les toca dos manzanas más a cada niño que cuando las reparte en entre ocho niños?
Anexo la figura esperando contestar a Celi García su inquietud y se deja abierta la pregunta para otras respuestas o comentarios sobre la respuesta dada.
Luis Enrique Camarena escribe y plantea lo siguiente, si hay 6 manzanas y las vas a repartir entre ocho niños, cuál sería el resultado en fracción.
Diría que 6/8... de entrada ese ya es resultado empleando la fracción como cociente, se ha explicado que en el numerador de la fracción se coloca lo que se vaya a repartir y en el denominador entre los que se reparta o recipiente donde se guardará ese reparto. Simplificando 6/8 es igual a 3/4... a cada niño le tocan seis octavos de manzana... recordar que no sería una manzana completa... es lo mismo decir que les toca tres cuartos de manzana a cada niño.
Pero... como entender eso, como decirle a un niño que con un acomodo está resuelto el problema, tal vez piense -un niño- que se aplica para todos los planteamientos que involucran quebrados, entender que no es así, que los números fraccionarios tienen varios significados y el concepto de fracción como cociente es uno de ellos y se aplican en problemas de reparto similares al anterior.
Se anexa una figura para hacer explícito gráficamente lo anterior.
Anexo preguntas de algunos lectores, son respecto al reparto que debería hacerse de pizzas. Se ha explicado en el contenido del tema que el resultado de un planteamiento es el "acomodo" en el numero fraccionario de la siguiente manera: en el denominador lo que se va a repartir y en el numerador entre quienes se va a repartir algo... pero de la misma manera se ha comentado que es una forma última de apropiarse del resultado, con los niños se debe trabajar de manera que hagan los repartos ya sea en dibujos o en material concreto que represente lo que se diga en la tarea a ejecutar. Va entonces las preguntas planteadas y las respuesta que se obtendrían, esperando sean las esperadas por quienes las formularon y gracias por escribir. debajo se da respuesta primero a las inquietudes de Gerardo y después a las de Antonela.
Martina Álvarez realiza la siguiente pregunta, ¿y si tengo que repartir 11 chocolates entre cinco chicos, cómo sería?... La respuesta es hacer el acomodo como se plantea líneas arriba, pero lo importante primero es comprobar la respuesta, se sigue sugiriendo la manipulación con elementos concretos, en este caso no sé si sea para una situación didáctica a presentar en un aula o es parte de una tarea. Por lo pronto se entrega chocolates (barras) a quien se le vaya a presentar el desafío y pedirle reparta (las barras) de manera equitativa a cada niño, al hacer el reparto se observará que tocan dos barras por niño y sobra una barra.
El alumno o equipo de alumnos debe llegar a ese entendido por sí solos, no dar la respuesta, no desesperarse. Al estar plenamente convencidos que a cada niño le tocan dos barras de chocolate, se plantea la tarea de repartir de manera equitativa la barra sobrante y se sigue recomendando que salga de sus hipótesis la respuesta... comparando cada forma de enunciar se debe llegar a un consenso para emitir la respuesta de equipo más adecuada. En el trascurso de varios ejercicios, se debe empezar a motivar respuestas donde observen el acomodo de los números y el conjunto que representa, en este caso hay dos conjuntos, el de chocolates y el de niños... recordar que la fracción como cociente se emplea en este tipo de tareas (repartos) y el numerador captará al conjunto que se va a repartir (los chocolates), mientras que el denominador el conjunto (los niños) entre los que se va a repartir el anterior grupo. Dentro de las situaciones que han ocurrido en este tema se suscitan planteamientos interesantes, uno de ellos es el que realiza Anny Flores, De Anny desconozco si es persona adulta o en una niña o jovencita. Me hace una pregunta de cómo repartir una pizza entre seis niños... le respondo que según el acomodo y pensando (yo) que quiere saber el resultado le explico que le toca a cada uno 1/6. Inmediatamente me responde que sí... pero le sobran dos. Por algunos momentos dudo y realizo el cuestionamiento del porqué le sobran dos, no veo como suceda eso. Sin embargo veo que esta personita que amablemente lee el tema tiene razón y su duda tiene mucha lógica... esa lógica infiero puede partir del hecho en que normalmente en los establecimientos donde venden pizzas, ésta ya viene partida para su consumo regularmente en ocho piezas por eso si Anny está realizando lo anterior es correcto que le sobren dos rebanadas.
Anny, la situación es comprender que vas a repartir todo el producto, en este caso una pizza, y debes cortarla en seis partes iguales... mira el ejemplo en la imagen. Entra el entendimiento que son repartos exhaustivos, es decir, repartir el producto sin que sobre nada. Agradeciendo hayas realizado el planteamiento y enriquecer con una situación que puede ocurrir en la lógica de las personas.
En respuesta al comentario:
En la sección de preguntas se realizan las siguientes inquietudes, de parte de René Montes y otra persona desconocida, tarde pero les dejo la respuesta en la imagen de abajo...
En el caso anterior fue
fácil reconocer el número de bloques que tendría el conjunto, pero el alumno se
podría confundir con el planteamiento. Por lo que se recomienda enfrentarlo a
ello, si se hubiese redactado de la siguiente manera: por cada 6 ovejas blancas hay 3 negras, si en el corral hay 63 ovejas,
¿cuántas ovejas negras hay?
Es
necesario encontrar el número que nos falta, se puede hacer con la regla de 3,
multiplicando 63 por 3 que da 189 y dividiendo entre 9 es 27… 27 son las
ovejas negras. Pero también se puede hacer de la siguiente manera como se
muestra en la figura.
