DESAFÍO MATEMÁTICO 42, TERCER GRADO... SUMAS Y RESTAS... empleo de transformaciones, comparaciones y suma de medidas

En este trabajo se pretende mostrar cómo dentro de los problemas que se les plantean a los alumnos en la educación primaria de México, subyacen cuestiones teóricas que el profesor debe conocer para entender por qué fallan al responder las consignas planteadas en los cuestionamientos.

Dentro de los temas de este blog, se han publicado alguno referente a los problemas de tipo aditivo. En esta ocasión buscando en los textos, se encuentra en el libro de tercer grado de desafíos matemáticos, planteamientos que permiten analizar ejercicios para resolverse empleando los pasos o estrategias que sugieren las primeras tres categorías planteados por G. Vergnaud. Se muestran para entender primero si el aspecto teórico mostrado es conocido o no por los docentes y segundo para reflexionar entonces si el alumno ha practicado lo suficiente para enfrentarse a este tipo de problemas, dicho de otro modo si conscientemente el maestro ha trabajado gradualmente desde estrategias gráficas y posteriormente actividades similares que sean resueltas con éxito y vayan encaminadas al empleo de operaciones o algoritmos cuando contesta una prueba, tarea o examen.

Para resolver este tipo de planteamientos, el alumno debe comprender las consignas y reflexionar sobre las preguntas particulares, en ningún momento se pretende convertir en guía para resolver así las actividades. Es entendible que cada titular de grupo conoce y aplica estrategias diferentes y llega a que sus alumnos contesten correctamente este ejercicio.

En la primera pregunta, (p. 91) imagen amarilla, se pide a los alumnos que contesten tres preguntas, para ello se considera que primero debe de resolver la tercera pregunta porque es la que nos indica dos datos, (cuántas canicas tenía Alberto antes del juego y cuántas canicas después del juego) se observa un paso del tiempo en los datos… cuando empezaron, al terminar… y para ello se aplica entonces entender qué ocurrió en el transcurso, alguien obtuvo más o menos canicas, la categoría dos descrita por Verganud dice que una transformación actúa en una medida para dar lugar a otra medida, la primera medida de Alberto al iniciar es 38 canicas  y la segunda medida al terminar el juego es 53 canicas, la cantidad se trasformó positivamente para él; la cantidad de canicas que se incrementó por lógica disminuyó “durante” el juego para Enrique. La incógnita se resolvía en la transformación en ambos casos.

 Para la pregunta dos, (cuadro azul) el planteamiento sugiere hacer una comparación (categoría 3), entonces si el alumno está haciendo transformaciones, puede pensar que seguirá realizándolas. Bueno esto es una suposición, el punto es que aparentemente los problemas son similares y económicamente se resuelven ambos o con una suma o con una resta; es cierto, pero en este planteamiento no hay un devenir sino una comparación, más aun, una comparación de algo no tangible pero si medible como son años cumplidos. En la imagen se presenta el esquema, gráficamente se puede comparar colocando en un cuadro a un niño y no sé,  tal vez frente a ocho pastelitos o una línea del tiempo… como en las siguientes imágenes.

 En el tercer problema (figura de abajo), el alumno se enfrenta de nuevo a transformaciones, categoría dos, necesita resolver primero cuánto dinero tiene después que su papá le da 10 pesos si antes tenía 85. Ese “después” (cantidad) se convierte en un “antes” de ir a la tienda con su mamá porque al comprar el dinero que le sobra es después de comprar el balón que es precisamente la incógnita de la actividad. Para este tipo de ejercicios se recomienda emplear billetes de utilería…

 El último ejercicio  de la página 91 (cuadro en verde), culmina con un ejercicio donde se aprecia que se suman dos medidas para dar lugar a otra medida… en los esquemas que han sido presentando, los números dentro de los cuadriláteros representan medidas, no son ni positivos, ni negativos… mientras los escritos en círculos son relativos, y éstos sí son o positivos, o negativos. Bien la solución nos muestra, y el alumno debe entender que esta sumando elementos que están en un mismo universo, en un todo… aunque se tengan que distinguir sus partes: frutas + verduras igual a canasta de alimentos. Este esquema de la primera categoría es el que comúnmente se enseña en las aulas y con esa explicación se pretende que los niños resuelvan planteamientos donde están presentes las otras categorías. (cfr. Chamorro; Vergnaud; Nunes y Bryant).

La pregunta sin embargo pide que se diga con cuánto dinero terminó la compra, entonces el dinero que pago de los alimentos pasa de ser una medida a representar un número relativo en el segundo paso ya que se requiere una transformación. Se inicia con 90, el "durante" es el dinero gastado y la respuesta está en la segunda medida… como se aprecia en la imagen anterior… qué lío para el niño, ¿verdad?

 Los desafíos de sumas y restas continúan en la página 92, antes del ejercicio que está en el cuadro rosa, está un crucigrama el cual omitimos en este análisis. el ejercicio presentado al final de la página, es bastante interesante, se sugiere resolverlo en tres pasos, es rico porque en el primero es una larga transformación (categoría dos) en tres momentos; así encontramos respuesta a la primera pregunta. La respuesta a la segunda pregunta es mediante la suma de dos medidas (categoría uno). Y la respuesta a la tercera pregunta sugiere hacer una comparación (categoría tres)

Esta última imagen nos ayudaría a entender la comparación de manera gráfica.

Podemos entonces afirmar que es necesario entender los aspectos teóricos dentro de la suma y resta (problemas aditivos) para poder apoyar a los niños cuando se enfrentan a estos desafíos. Apoyarnos en imágenes, material concreto y cualquier recurso que permita comprender al niño cuando une dos medidas... en qué momento necesita hacer trasformaciones o si necesita hacer comparaciones para encontrar la respuesta a los cuestionamientos.

DESAFÍO MATEMÁTICO 33 Y 34... EN PARTES IGUALES/ ¿A QUIÉN LE TOCÓ MÁS?... TERCER GRADO DE PRIMARIA

En el libro de tercer grado para desafíos matemáticos se da la oportunidad para trabajar el concepto de fracción como cociente, en el blog existe una entrada, la cual estoy enlazando, en ese tema se trata de introducir los conceptos que subyacen a dicha estrategia como herramienta para solucionar problemas matemáticos.

En este trabajo se añaden imágenes de cómo se puede trabajar en los problemas y preguntas allí planteados. Por ejemplo en el desafío 33, página 72 se pide que usen los espacios para representar sus soluciones. Desglosado, se encuentran las figuras donde se representa una forma de solucionar como comprobación que la escritura de la fracción que representa los dos números naturales respetando qué se va a repartir escribiéndolo en el numerador y entre qué (quiénes o dónde) anotándolo en el lugar del denominador se llega a la respuesta pues en este caso la fracción es un cociente; es decir, es un resultado en sí mismo. 

Lo anterior se presenta, o se puede mostrar porque las números fraccionarios que se trabajan en la actividad (medios, cuartos y octavos) pueden convertirse en fracciones decimales y posteriormente en números decimales y porque al hacer un reparto gráfico como en los ejemplos aquí mostrados se hace una distribución exhaustiva... no sobra nada.

En las páginas siguientes de desafíos, se puede seguir resolviendo mediante la aplicación de la estrategia de fracción como cociente. Se debe seguir primero trabajando el reparto de manera gráfica y posteriormente mediante el empleo de la fracción, además se necesita incorporar otras estrategias que use el alumno o que el docente conozca... lo importante es ver cómo el niño evoluciona en su comprensión lectora de los problemas planteado, la aplicación de diversa estrategias y principalmente la resolución correcta de sus tareas que mejorarán su autoestima.

Para la página 34 se continua con el mismo procedimiento pero además se muestra cómo se puede comprender cuando una fracción es igual, mayor o menor que otra y su transformación en fracción decimal y número decimal. Toda aquella fracción cuyo denominador representa medios, cuartos, quintos y octavos  se pueden transformar en fracciones decimales multiplicándolas como se muestra en la imagen: El 2 x 5 (10), 4 x 25 (100), 8 x 125 (1000); y podemos añadir 20 x 5 (100) y algunos otros fraccionarios que necesitan primero una conversión como 3/6= 1/2... 

Es importante que se empiecen a trabajar también la equivalencias, pero bueno, se deja este trabajo esperando que sea un apoyo sobre todo a quienes atienden grupos multigrado.

Para ampliar la información se deja el siguiente link donde se maneja el concepto y otros ejemplos.

http://raza-kwfracc.blogspot.mx/2012/07/la-fraccion-como-cociente.html

Los problemas de tipo aditivo... una relación une dos medidas, comparación de medidas TERCERA CATEGORÍA

Figura 1

A diferencia de la segunda categoría, esta tercera categoría propuesta por Verganud debe ser analizada para entender que la unión de dos medidas se establece mediante una relación; es decir, comparando dos medidas distintas o cantidades se puede establecer una respuesta encontrando la relación estática y no una transformación o proceso de devenir como se aprecia en las categorías uno y dos. Veamos pues relación y comparación para este caso como una misma cosa.

Seis subtipos se establecen al plantear problemas en esta categoría. Recordando que en la primera se encuentran dos y en la segunda seis, entonces catorce formas de plantear problemas son las que hasta el momento debe dominar el docente para poder aplicarse a los alumnos, lo que lleva a preguntarse si son trabajadas con conocimiento de causa o si con el supuesto de enseñar el algoritmo convencional es suficiente para que el niño entienda todas las implicaciones alrededor de los problemas de tipo aditivo.

Una característica es cuando al analizar el problema, el alumno debe entender que el elemento principal o medida es igual, o se está hablando de canicas,  o años, o edad,  o dulces, o hermanos... y a la vez comparando entre dos elementos de la misma especie pero distintos entre ellos, se espera que en los ejemplos se entienda esto.

La incógnita y la comparación

En los libros de texto encontramos ejercicios para entender esta categoría, la imagen plantea primero comprender cuántas tortugas tiene Raquel (medida 1) y cuántas Bernardo (medida 2), Este problema debido al grado el docente podría trabajarlo  de manera oral y la estrategias pueden ser múltiples... hacer relación uno a uno tachando, o uniendo y observar cuántas tortugas quedaron sin tachar en uno de los cuadriláteros.

En el caso la pregunta esta planteada así: ¿Quién tiene más tortugas? Se respondería que Raquel, replanteando puede preguntarse a los alumnos: Bernardo tiene 40 tortugas, 3 menos que Raquel, ¿cuántas tortugas tiene Raquel?... 

Aquí se plantea la incógnita en el primer número, el más grande y la comparación o relación es negativa. 

Una comparación negativa, donde la incógnita esta en la misma comparación se daría si la pregunta estuviera planteada de la siguiente manera; Raquel tiene 43 tortugas, Bernardo 40, ¿qué cantidad de tortugas tiene Bernardo menos que Raquel?

Como ya se mencionó, al igual que la segunda categoría, aquí se generan 6 tipos de preguntas, dependiendo en el esquema donde se encuentra la incógnita y si la relación es positiva o negativa.

Cambiando las preguntas se podría redactar un desafío de la siguiente manera: En El Tapextle hay 12 alumnos más que en El Amole, si en El Amole están inscritos 23 niños, ¿cuál es la cantidad total de alumnos en El Tapextle?... Se establece una comparación positiva y se pregunta sobre la medida grande... La incógnita ya sea en las medidas o cantidades y la comparación positiva o negativa es lo que nos da los seis tipos de preguntas, quien lo debe de entender es el docente; el alumno en su repetición de ejercicios similares se apropiará y diferenciará las categorías.

DESAFÍO MATEMATICO 1... ¿CUÁNTO ES EN TOTAL?... QUINTO GRADO

figura 1

El libro de desafíos matemáticos para quinto grado inicia con un reto donde se trabaja la suma de fracciones. El grado de dificultad que se pudiera presentar al realizar las operaciones es que se presentan tres números fraccionarios, aquí se puede alentar al alumno a que realice operaciones de dos fracciones y el resultado lo sume a la otra fracción aunque sería más complicado. En la primer pregunta de cuánto queso Oaxaca se uso durante el día, se propone el ejemplo de la figura 2, que consiste en encontrar un múltiplo común a los denominadores de las tres fracciones. 

figura 2

El proceso trata de ser explícito por sí mismo, al final se busca reducir la fracción y finalmente transformar el número mixto en este caso un entero más un medio al número fraccionario uno punto cinco. en la figura 3 se muestra otro proceso de cómo se obtiene el mismo resultado, se recuerda que es a manera de sugerencia, si el alumno ya conoce otras manera de llegar va la respuesta, se deben de analizar y al final sistematizar para que los mismos alumnos entiendan los proceso y seleccionen aquel que dominen. 

figura 3

Siempre ha sido recomendable que se trabaje con ejemplos gráficos, en esta ocasión se propone el uso de operaciones. Para la pregunta dos, en la búsqueda del múltiplo común entre los denominadores 2, 8 y 4 se toma directamente el ocho, para algunos alumnos podrá ser evidente, pero para quienes no, se requiere hace lo mismo que en la figura 2, ver la sucesión de múltiplos de 2 (2, 4, 6, 8, 10...); 8 (8, 16...) y 4 (4, 8, 12...) debajo del denominador se anota (en rojo) el número que va a multiplicar tanto a éste como al numerador. 

figura 4

La transformación del resultado de número fraccionario a número decimal es posible ya que el número 8 se puede convertir mediante una multiplicación que lo lleva a milésimos.

figura 5

Al final se resuelve el desafío como se muestra en la figura 5, y queda como sugerencia, se debe entender que en este caso se privilegia el empleo de sumas y restas de fracciones, las sumas de tres fracciones y el empleo de tablas, se debe contrastar lo que el docente va a manejar y buscar otras soluciones posibles. Para el caso de escuelas multigrado como es la mayoría en el estado de Durango, se recomienda intercalar alumnos de los diferentes grados para solucionar este tipo de tareas.

DESAFÍO MATEMÁTICO 22... ¡ MMM... POSTRES!..... SEXTO GRADO

Este desafío nos maneja porcentajes, para ellos y mediante la sugerencia que aquí se plasma, se pretende solucionar las tareas que plantea realizando el mínimo de operaciones o algoritmos. La primera actividad nos pide que se obtengan los datos para la tabla que se muestra en la segunda figura, pero antes en la primera imagen se elabora una tabla en la parte izquierda de la gráfica circular donde se obtienen los porcentajes que se manejan, estos son 10%, 15%, 20% y 25.

Para realizar lo anterior se crean dos columnas y en una se indica donde se escribirán las cantidades que representan porcentajes, la segunda donde representan dinero. Si el total vendido es 7,200 pesos, entonces sin hacer operaciones y sólo mediante la eliminación o recorrido del último dígito a esta cantidad se obtiene el 10%, con eso ya encontramos cuánto es en dinero ese porcentaje... para mejor comprensión, se anexa la segunda imagen frente a este párrafo.

Volviendo a la primera imagen, podemos entonces obtener el 5%, sería la mitad de 720... entonces 360 representa ese porcentaje; el obtener esa cantidad nos permite como se aprecia en la misma primer imagen que sumando la cantidad del 10% más el 5% obtenemos el 15% que es 1,080 pesos. Al lado derecho se en la primera imagen se muestra cómo se obtuvo el 20% que fue 1440 pesos y si se suma 360 que es el 5% se obtiene 1800 pesos o el 25% como se quiera entender. Con dichos datos y analizando la forma en cómo se obtuvieron los datos, se puede contestar la tabla.

La tabla nos pide que dependiendo ya sea del precio del producto, qué cantidad (del mismo producto) se vendió. Para eso tenemos que recordar a cuánto equivalen los porcentajes ya despejados en la primera figura. si la gráfica nos dice que el elote representa un 20% de la cantidad vendida, en este caso 1440 pesos, entonces lo que nos interesa saber es si el precio de cada elote está a 72 pesos, cuántos elotes se vendieron para llegar a esa cantidad (1440). en la figura de arriba al lado izquierdo vemos que necesitamos entonces multiplicar 72 por la cantidad de elotes vendidos (incógnita) para obtener 1440 (que representa el 20% del total vendido). Para despejar entonces debemos realizar una división, observen el lado derecho de la figura, la división de 1440 entre 72 igual a 20. Verificando 72 por 20 igual a 1440.

Así se resuelve dicha tabla... ojo, no es trabajo de un día, se sugiere hacerlo en varias sesiones... el ejercicio tiene continuidad en la página 43 del libro de desafíos, pero con este primer acercamiento considero se pueden resolver las siguientes tareas. 

Espero sugerencias...