Al mismo tiempo
—agregó—, serviría de diagnóstico para estudiar algunas propiedades y
características del cuadrado y triángulo. Nos pareció interesante la idea del
compañero y nos enfocamos a analizar su probable desarrollo y resultado. De esa
acción surge el interés de presentarlo a ustedes, ¿cuál interés? Del resultado
que surge y los caminos que empezamos a tomar para su explicación. Al haber
tenido un acercamiento previo a una tarea similar con el tema que se trabajó en este blog, tenía una idea para
presentar una propuesta; pero lo que intento mostrar es el camino que seguían
los compañeros al querer obtener otras estrategias para ofertarla a los colegas.
Lo sucedido fue
que empezaron a tomar el camino de la realización de operaciones, pero nos
estamos adelantando, cuáles eran las consignas que nos dieron:
1.
Construir un
cuadrado (hipotético) que mida una unidad (1 u) por lado.
2.
A cada vértice
identificarlo con una letra (A, B, C, y D).
3.
Dibujar una (línea)
diagonal del punto A al punto C.
4.
En la parte
media de AC, marcar un punto y denominarlo E.
5.
Del punto D
trazar una línea hasta E.
6.
En la parte
media de la línea A y E calcar un punto y denominarlo F.
7.
Trazar una línea
de D a F.
8.
Identificar el
triángulo ADF.
9.
Consigna:
Demostrar que se puede establecer el área del triángulo ADF sin ejecutar
operaciones aritméticas.
Lo que comparto
es la experiencia de la citada reunión y otras dos sesiones donde se presentó a
varios compañeros docentes la propuesta. En un principio se ejecutaban
operaciones aritméticas, algunas deducciones mentales pero en ninguna se
establecía con certidumbre un resultado. Se llegaba a uno pero con dudas. Cabe
aclarar que se ha presentado la idea a nivel personal en algunos cursos donde
colaboro y el guion no sé si fue usado por los demás asistentes a dicha reunión
en sus respectivos ámbitos. Por qué comento que la consigna es un cuadrado
hipotético, porque se puede dibujar un cuadrado cualquiera (y grande) y
establecer arbitrariamente su medida en una unidad por lado.
Qué elementos o
propiedades nos permiten trabajar: a) identificación del cuadrado y triángulo,
b) propiedades de las figuras por su forma (lados o ángulos), c) uso de
elementos para los vértices (uso de mayúsculas), d) manejo de segmentos
diagonales en un cuadrado y mediana en triángulos… entre otras propiedades que
son factibles y de hecho están sugeridas en la propuesta curricular 2016 como
tema. La
representación de la figura no generaba algún problema, incluso llevar
mentalmente estrategias para exponer resultados. Algunas soluciones fueron: “Si
el área del cuadrado es 1 u2,
la diagonal nos indica que el área del triángulo (ACD isósceles) es .5 de una u2, por tanto el segmento DE
forma dos triángulos rectángulo (ADE y CDE) con área .25 de una u2 c/u, el
segmento DF nos revela la formación de dos triángulos (DEF rectángulo y ADF escaleno)…
concluyendo así que era .125 una u
2.
La misma
explicación fue iniciada por otro compañero, su comentario iba en sentido de
establecer números fraccionarios: De un entero (1 u2) se obtiene ½ de una u2 con la diagonal, la otra media diagonal nos forma dos
triángulos rectángulos de ¼ de una u2 cada uno, y de los dos
triángulos obtenidos al dibujar el segmento DF en uno de los triángulos
rectángulos (se vuelven a formar dos triángulos, uno rectángulo y otro
escaleno) permitía deducir que el área del triángulo ADF era 1/8
de una u2.
Como tercera
propuesta esta lo siguiente que se puede ver en la figura de abajo:
Se podrá debatir
qué tiene de interesante o novedoso lo anterior… al estar diseñando los pasos
de solución surge el interrogante de cómo se estaba seguro que el triángulo ADF
(triángulo escaleno) era un octavo, del total del cuadrado. Entonces se lanza
la observación —como cuestionamiento—, si el triángulo DEF (triángulo
rectángulo) tendría igual área que el triángulo ADF. La duda se generaliza
porque algunos empiezan a observar que al triángulo rectángulo se le podrían
establecer medidas bajo otros procesos aritméticos… pero cómo se le haría para
el triángulo de la consigna si es escaleno y su base —decían— es 1… es decir
estaban tomando como base el segmento AD y querían establecer la altura de un
punto de dicho segmento (cercas de A) hacia F y eso creó la confusión, y deliberaban
qué medida darle.
Claro que en el
ensayo-error surge al observar el triángulo rectángulo DEF que su base o altura
se establecen en los segmentos DF y EF.
Siendo la base EF, encontramos igualdad con la línea AF del triángulo escaleno
ADF y la altura de ambos sería DE… altura natural del triángulo rectángulo DEF y
altura prolongada del triángulo escaleno. Pero aún seguía la necesidad de
encontrar o demostrar mediante una operación aritmética que se ejecuta al
establecer la medida de la hipotenusa del triángulo ACD, en este caso el
segmento AC (1.414213562373095 u)
para de ahí dividir y conocer la medida de AE (0.7071067811865475 u) y posteriormente las medidas de EF
que sería igual a AF (0.3535533905932738 u)
los números obtenidos son arrojados mediante calculadora.
Se comprueba que
(0.3535533905932738 x 0.7071067811865475) arrojan 0.25 y dividido entre dos 0.125, pero eso ya se había
deducido. ¿Por qué se sentía esa necesidad de comprobar? Aquí es donde podemos
echar mano a la teoría de H Aebli, que hay una laguna de conocimiento que
seguimos arrastrando porque hay saberes que deberían ser indudables. A un nivel o bajo una dimensión académica surgió lo anterior, nos
hizo alertarnos sobre la necesidad de actualizarnos… ¿qué estábamos omitiendo?
Estábamos eludiendo un conocimiento que ahí estaba, una de las propiedades
de un triángulo es que al trazar un segmento o línea de un vértice al punto
medio del lado opuesto se divide en dos triángulos de igual área aunque no
necesariamente de igual forma… por eso el triángulo DEF evidentemente es igual al
triángulo ADF pero no lo podíamos establecer así desde un primer momento.
Espero a quien lea esto no haberlo enredado. Un
saludo y ojalá realicen comentarios.
