DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA 2... CUADRADO, TRIÁNGULOS Y MEDIANA

En el estado de Durango operó de manera regular hasta 2016 un componente del proyecto de innovación que implementó la Secretaría de Educación  a nivel estatal encaminado a la realización de tutorías para mejorar los aprendizajes en lectura, escritura y matemáticas. Una de la formas de trabajar fue la capacitación de los tutores en una de sus unidades o ciide (centro de investigación e innovación para el desarrollo educativo). Dentro de las sesiones, en un momento de propuestas y compartimiento un compañero nos planteó que desarrolláramos un guion de trabajo a partir del siguiente problema: Demostrar que se puede establecer o identificar el área de un triángulo dentro de un cuadrado sin realizar operaciones aritméticas.

Al mismo tiempo —agregó—, serviría de diagnóstico para estudiar algunas propiedades y características del cuadrado y triángulo. Nos pareció interesante la idea del compañero y nos enfocamos a analizar su probable desarrollo y resultado. De esa acción surge el interés de presentarlo a ustedes, ¿cuál interés? Del resultado que surge y los caminos que empezamos a tomar para su explicación. Al haber tenido un acercamiento previo a una tarea similar con el tema que se trabajó en este blog, tenía una idea para presentar una propuesta; pero lo que intento mostrar es el camino que seguían los compañeros al querer obtener otras estrategias para ofertarla a los colegas.

Lo sucedido fue que empezaron a tomar el camino de la realización de operaciones, pero nos estamos adelantando, cuáles eran las consignas que nos dieron:

1.      Construir un cuadrado (hipotético) que mida una unidad (1 u) por lado.

2.      A cada vértice identificarlo con una letra (A, B, C, y D).

3.      Dibujar una (línea) diagonal del punto A al punto C.

4.      En la parte media de AC, marcar un punto y denominarlo E.

5.      Del punto D trazar una línea hasta E.

6.      En la parte media de la línea A y E calcar un punto y denominarlo F.

7.      Trazar una línea de D a F.

8.      Identificar el triángulo ADF.

9.      Consigna: Demostrar que se puede establecer el área del triángulo ADF sin ejecutar operaciones aritméticas.

Lo que comparto es la experiencia de la citada reunión y otras dos sesiones donde se presentó a varios compañeros docentes la propuesta. En un principio se ejecutaban operaciones aritméticas, algunas deducciones mentales pero en ninguna se establecía con certidumbre un resultado. Se llegaba a uno pero con dudas. Cabe aclarar que se ha presentado la idea a nivel personal en algunos cursos donde colaboro y el guion no sé si fue usado por los demás asistentes a dicha reunión en sus respectivos ámbitos. Por qué comento que la consigna es un cuadrado hipotético, porque se puede dibujar un cuadrado cualquiera (y grande) y establecer arbitrariamente su medida en una unidad por lado.

Qué elementos o propiedades nos permiten trabajar: a) identificación del cuadrado y triángulo, b) propiedades de las figuras por su forma (lados o ángulos), c) uso de elementos para los vértices (uso de mayúsculas), d) manejo de segmentos diagonales en un cuadrado y mediana en triángulos… entre otras propiedades que son factibles y de hecho están sugeridas en la propuesta curricular 2016 como tema. La representación de la figura no generaba algún problema, incluso llevar mentalmente estrategias para exponer resultados. Algunas soluciones fueron: “Si el área del cuadrado es 1 u², la diagonal nos indica que el área del triángulo (ACD isósceles) es .5 de una u², por tanto el segmento DE forma dos triángulos rectángulo (ADE y CDE) con área .25 de una u^{2 c}/_u, el segmento DF nos revela la formación de dos triángulos (DEF rectángulo y ADF escaleno)… concluyendo así que era .125 una u ².

La misma explicación fue iniciada por otro compañero, su comentario iba en sentido de establecer números fraccionarios: De un entero (1 u²) se obtiene ½ de una u² con la diagonal, la otra media diagonal nos forma dos triángulos rectángulos de ¼  de una u² cada uno, y de los dos triángulos obtenidos al dibujar el segmento DF en uno de los triángulos rectángulos (se vuelven a formar dos triángulos, uno rectángulo y otro escaleno) permitía deducir que el área del triángulo ADF era ¹/₈ de una u².

Como tercera propuesta esta lo siguiente que se puede ver en la figura de abajo:  

Se podrá debatir qué tiene de interesante o novedoso lo anterior… al estar diseñando los pasos de solución surge el interrogante de cómo se estaba seguro que el triángulo ADF (triángulo escaleno) era un octavo, del total del cuadrado. Entonces se lanza la observación —como cuestionamiento—, si el triángulo DEF (triángulo rectángulo) tendría igual área que el triángulo ADF. La duda se generaliza porque algunos empiezan a observar que al triángulo rectángulo se le podrían establecer medidas bajo otros procesos aritméticos… pero cómo se le haría para el triángulo de la consigna si es escaleno y su base —decían— es 1… es decir estaban tomando como base el segmento AD y querían establecer la altura de un punto de dicho segmento (cercas de A) hacia F y eso creó la confusión, y deliberaban qué medida darle.

Claro que en el ensayo-error surge al observar el triángulo rectángulo DEF que su base o altura se establecen en los segmentos  DF y EF. Siendo la base EF, encontramos igualdad con la línea AF del triángulo escaleno ADF y la altura de ambos sería DE… altura natural del triángulo rectángulo DEF y altura prolongada del triángulo escaleno. Pero aún seguía la necesidad de encontrar o demostrar mediante una operación aritmética que se ejecuta al establecer la medida de la hipotenusa del triángulo ACD, en este caso el segmento AC (1.414213562373095 u) para de ahí dividir y conocer la medida de AE (0.7071067811865475 u) y posteriormente las medidas de EF que sería igual a AF (0.3535533905932738 u) los números obtenidos son arrojados mediante calculadora.

Se comprueba que (0.3535533905932738 x 0.7071067811865475) arrojan 0.25 y dividido entre dos 0.125, pero eso ya se había deducido. ¿Por qué se sentía esa necesidad de comprobar? Aquí es donde podemos echar mano a la teoría de H Aebli, que hay una laguna de conocimiento que seguimos arrastrando porque hay saberes que deberían ser indudables. A un nivel o bajo una dimensión académica surgió lo anterior, nos hizo alertarnos sobre la necesidad de actualizarnos… ¿qué estábamos omitiendo? Estábamos eludiendo un conocimiento que ahí estaba, una de las propiedades de un triángulo es que al trazar un segmento o línea de un vértice al punto medio del lado opuesto se divide en dos triángulos de igual área aunque no necesariamente de igual forma… por eso el triángulo DEF evidentemente es igual al triángulo ADF pero no lo podíamos establecer así desde un primer momento.

Espero  a quien lea esto no haberlo enredado. Un saludo y ojalá realicen comentarios.