lunes, 30 de marzo de 2020

FACTORIZACIÓN PRIMA… MCD Y MCM


En el libro Introducción a las matemáticas”  de Meserve y Sobel en su edición en español del lejano 1974 manejan el tema de la factorización prima; previo a eso para efectos de comprensión del tema, establecen  las definiciones: múltiplo de y divisor de… en este aspecto se señala que cuando un número natural es divisible (de manera exacta) por otro número natural siempre y cuando intervenga otro número natural, por ejemplo: 12 ÷ 3 = 4  (ó 12 = 3 x 4) entonces se cumple que 12 es múltiplo de 3 y 3 es divisor de 12…


En la imagen se muestran conjuntos a partir del 2, 3, 4… cada conjunto como se observa no contiene a todos los números naturales  y la divisibilidad en el conjunto A es una propiedad única de determinado conjunto. Aquí se compara que el 1 es el único número que puede dividir a todos los números naturales, el número 2 es el único que puede dividir a los elementos del conjunto A (porque pertenece únicamente a ese conjunto) pero ningún otro número natural (salvo el 1) lo puede dividir.

El 1 se le conoce como unidad y el 2 por esa característica de ser divisible por sí mismo y la unidad es el primer número primo… el 3 es el segundo número primo, tiene la misma característica del 2 y el 4 no es número primo ya que pertenece al conjunto A y C siendo divisible por 2… podemos identificar que son números primos el 2, 3, 5, 7, 11, 13… los número naturales con excepción del 1 que no son primos se conocen como números compuestos.

Estableciendo las anteriores definiciones se puede entrar al tema de la factorización, en el cuadro se observa diferentes maneras de encontrar los factores del número 36, al final se muestra el ejemplo, mismo que también se muestra en la primera imagen  al realizar la factorización con números primos de los números 12, 18 y 24. Encontramos que un a cualquier número natural se pueden encontrar diversas formas de factorizarlos pero en términos de factores primos únicamente de una forma.

Este tema también se maneja en la Enciclopedia de matemáticas Océano del 2001 y de ahí se complementa la información para entender dónde se aplica la factorización prima. Sí se toman por ejemplo los números 12 y 18 para encontrar su máximo común divisor (MCD) encontramos que es el número 6 con la técnica de divisores comunes como con la factorización prima se llega a ese resultado. En el caso de divisores comunes, los no comunes se omiten.


Al encontrar el MCD, en una fracción se puede reducir a su mínima expresión. Se encuentra el MCD de ambos números y se omiten, los factores no comunes se conservan y con ellos se encuentra dicha reducción como se muestra en los ejemplos. El lector encontrará cómo se ejecuta esperando sea lo suficientemente explícito al respecto… podría quedar la duda respecto a la reducción de la fracción 4/12 ya que al omitir el MCD o queda un divisor común, pero en los números fraccionarios cuando hay esta ausencia se utiliza la unidad.

En la enciclopedia Océano nos dice que el mínimo común común míltiplo (MCM) se obtiene con los productos de los factores comunes y no comunes considerando siempre el mayor exponente. En las tres últimas imágenes se muestra cómo se puede aplicar en el caso de la suma (o resta) de dos fracciones… 

En ellas ya hay algunas combinaciones con la forma de emplear elementos vistos en el MCD… en la última imagen se realiza una suma de fracciones con la técnica de productos cruzados para mostrar cómo se puede llegar al mismo resultado con diferentes caminos. No se trata de mostrar cuál es el mejor, se busca entender las diferentes formas que se pueden emplear en algunos casos estos conocimientos.

Agradecería sobre todo algunas sugerencias a situaciones que se tengan que corregir o modificar.