La segunda categoría de relaciones aditiva que trabajó Vergnaud es cuando una transformación opera sobre una medida para dar lugar a otra medida. Contrastando lo que dice Belmonte quien es mencionado anteriormente en la explicación de la primera categoría, nos dice que “Se trata de fenómenos en los que se produce una modificación en el devenir cronológico de los estados de las medidas, pasando de un estado inicial (m1) a un estado final (m2) mediante una transformación (t).
El trabajo dentro de las aulas debe ser con números que puedan representarse o trabajarse sin mucha dificultad para los infantes, recordando como dice Nunes y Bryant que los números tienen sentido cuando se refieren a objetos. Lo importante es que entiendan que dentro del análisis a los planteamientos escritos, vaya la comprensión lectora al problema y tareas que implica se entienda que es un fenómeno en un espacio de tiempo sea ficticio o real donde se perciba claramente un inicio, un proceso y un final; el proceso es precisamente esa transformación que se requiere para completar la relación estructural en el los momentos que sugiere el desafío.
Los seis clases o tipos que arroja la segunda categoría ya se han ejemplificado, aquí se retoman para entender precisamente ese aumento o disminución que pueden ocurrir en cualquiera de los estados inicial y final o en el propio proceso de transformación. En los ejemplos que la literatura nos da, acude a situaciones como ver medidores de bombas de gasolina o datos de censos, vamos a intentar con problemas que se apeguen a lo inmediato que puede ver un alumno de un medio rural y que estudia en una escuela multigrado como lo son la mayoría de las escuelas en nuestro país particularmente en el estado de Durango.
Es más fácil resolver problemas de la categoría uno porque sólo implica comprender la relación que hay en el universo del problema cuyas partes componen ese todo. En la segunda categoría como ya se dijo hay seis clases; la clase o tipo 1 es la aplicación de una transformación (aditiva) a una medida inicial para encontrar la respuesta que estará en la medida final, es similar a la clase 4, la diferencia se encuentra únicamente en que la transformación es sustractiva y cuando se trata de quitar es necesario que la medida inicial sea mayor.
La clase 2 y 5 implican mayor concentración para su solución, en este tipoa y c, entonces b es diferencia entre c y a, la sustracción estaría entrando dentro de las complejidades que hay dependiendo de la problematización que se haga.
de problemas, se conoce la medida inicial y final, la transformación aditiva en la clase 2 será sustractiva en la clase 5 pero además allí es donde se buscará respuesta a la pregunta planteada. Al estar la incógnita en la transformación, el docente debe prever que la complejidad aumenta y dar pistas que en el añadir para el tipo 2 y quitar para el tipo 5 mentalmente podrán simbolizar ese paso temporal del estado inicial al final; es decir complementar. Se podría establecer el resultado mediante una diferencia ya que si b es complemento entre
El tipo 3 y 6 para enunciar estos tipos, citaré a Vergnaud que confrontado con Belmonte es prácticamente lo mismo:
“El cálculo relacional, que implica la solución de problemas de la clase 3 y 6 es todavía más complejo, ya que la solución canónica (válida en todos los casos) implica la inversión de la transformación directa y el cálculo del estado inicial por la aplicación del estado final de dicha transformación inversa…
Proponen como estrategia el complemento, lo que hay que añadir a b para encontrar c (únicamente si se puede hacer cálculo mental y es positivo) y el estado inicial hipotético. A un estado inicial (hipotético) aplicarle la transformación directa, encontrar el estado final y corregir la hipótesis inicial.
Y concluyen que estas clases (las seis) no son homogéneas… la complejidad no se puede atribuir al tipo que pertenecen sino también al tipo de información, el orden y la escritura de números complejos que puedan hacer más difícil un problema de tipo 1 a uno de tipo 3 aunque la teoría diga que es lo contrario.
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| Libro de matemáticas primer grado |
Ejemplos para las clases o tipos.
Para la clase 3 (transformación aditiva) podemos crear problemas como:
- A la huerta de don Pedro en Borbollones el último año se le plantó 50 manzanos, actualmente tiene 250 manzanos, ¿Cuántos manzanos tenía antes de la última plantación de árboles?
- En la huerta de don Pedro hay 250 manzanos, si se plantaron 50 últimamente, ¿cuántos manzanos había inicialmente?
Se puede trabajar estrategias como complementar, para eso se requiere que los números se presten al cálculo y la transformación positiva, entonces un alumno de sexto o quinto pude sumar 200 y 50 y entender que 200 es el número que se busca. Por estado inicial hipotético, puede decir que antes había 100 ó 200 e ir añadiendo (de 50 en 50) hasta encontrar 250. O finalmente entender que se puede hacer una sustracción al estado final menos la transformación; si nos fijamos la transformación es positiva entonces podemos hacer una resta.
La clase 6 (transformación sustractiva) la podemos ejemplificar así:
- En el grupo de cuarto grado de la escuela “Gral. Francisco Villa” de El Salto, Dgo., se han dado de baja 13 alumnos, si para final de ciclo terminaron 58, ¿Qué cantidad de alumnos había al inicio del ciclo escolar?
Para el tipo 2 (transformación positiva) se plantean el siguiente ejemplo:
- Cruz fue a Palmarito a comprar cabras y así diversificar su ganado, si ahora tiene 240 y antes contaba con 160, ¿Qué cantidad de cabras compró en Palmarito?
El tipo 5 (transformación negativa)
- Los ejidatarios de La Campana cortaron este mes pinos en el predio de don Luis, si el mes pasado había 120 y este mes quedan 85, ¿Cuántos pinos son los que cortaron?
En ambos se puede llegar bajo el mismo procedimiento, complementar en el ejemplo del tipo 2 y en el tipo 5 ir restando al estado inicial hasta encontrar el estado final... en ambos la incógnita o respuesta que se busca esta en la transformación. Para ambas también se llega mediante la sustracción cuidando que esta se pueda efectuar colocando en primer lugar la medida mayor.
Para el tipo 1 y 4 que son los que menos dificultad ofrecen, se debe de seguir el movimiento temporal del antes que es la medida inicial, durante que es la transformación para encontrar el después o estado final que nos daré la medida final y la repuesta por ser donde se encuentra la incógnita. Los ejemplos son:
- La ruta de pasajeros que sale de Neveros partió con 13 personas, en las diferentes paradas antes de llegar El Salto subieron 12, ¿Cuántos llegaron a El Salto? (TRANSFORMACIÓN POSITIVA)
- El maestro de Las Adjuntas recibió 60 lápices para que los regale a los alumnos, ya dio 20 a los alumnos de segundo, ¿Qué cantidad de lápices le queda? (TRANSFORMACIÓN NEGATIVA)
Quedan así ejemplificadas las seis clases de la categoría dos y sólo espero que haya comentarios al respecto con el afán de mejorar.
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