DESAFÍO MATEMÁTICO 80... REPARTOS EQUITATIVOS... SEXTO GRADO

El desafío matemático 80 cuenta con tres planteamientos que involucran el uso de números fraccionarios, en el primero se alude el reparto de un pastel que dicho sea de paso no está completo; el segundo similar al anterior pero ahora se trata de una pizza y el tercero el uso de un listón para hipotéticamente fabricar unos moños. Para estas alturas del ciclo escolar se considera que el alumno ya se ha enfrentado a problemas similares y por tanto ya tiene un bagaje de estrategias para solucionar los planteamientos.

Entonces, el primer problema indica el reparto de 3/10 de pastel para 2 niños que llegaron tarde a una fiesta. La imagen puede mostrar la solución, misma estrategia que en el libro para el docente se trabaja, lo que mostramos y a consideración del docente es la introducción de la división o multiplicación de un número fraccionario. 

Se debe ejecutar gradualmente divisiones a partir del 2, 3. 4,... y analizar que afecta multiplicativamente al denominador y el número representado en el numerador permanece inalterado; el trabajo con imágenes se usa para validar lo que gráficamente se representa.

De esa manera se entiende cómo se llega al resultado de los problemas 1 y 2. El segundo se muestra el reparto del producto (pizza) ya incompleto para 4 personas y la secuencia de las operaciones es similar a lo ejecutado en el problema primero, entender que 1/8 corresponde a cada uno (les toca) y 1/8 se tiene que volver a dividir entre 4, sabedores que alteraremos el numerador obtenemos 1/32 que sumaremos a 1/8.

Con estos problemas no se va más allá, es decir, ya el alumno no buscará saber por ejemplo cuál seria el peso de la porción que se va a comer ya que no está ese dato en el planteamiento. En el tercero ya involucra fracción y especifica de cuánto, de 1 metro dice. 

Siguiendo la estrategia inicial, al dividir 3/4 entre 4, así como lo prevé el libro del docente, el alumno puede asociar la fracción a 75 cm y con ello se puede trabajar posteriormente tratando de encontrar la medida de cada moño. Se aprovecha para trabajar un poco con lo publicado en el tema: razones y proporciones de este mismo blog. La imagen nos muestra la secuencia de operaciones realizada y se comprueba el principio de la proporción que indica que el producto de los extremos es igual al producto de los medios y efectivamente 3 X 100 = 300 y 16 X 18.75 (después de despejarse) = 300.

Nuevamente un saludo, repito no es muy novedoso lo aquí expuesto porque mucho se maneja en las consideraciones previas del texto para el docente, pero se comparte con la intención de comparar sus estrategias en este tema.

RAZONES Y PROPORCIONES... ESTRATEGIA DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En la escuela primaria de México se ha establecido como un propósito para la enseñanza de las matemáticas el desarrollo de habilidades para la resolución de problemas y se le ha apostado a la implementación de desafíos intelectuales para que el alumno genere ideas de solución de manera colectiva, así versa en los libros para el docente. Un cambio que implica también un giro de rol del maestro de grupo pero que también incluye al mismo alumno y los padres de familia... algo novedoso para muchos lugares donde aún se lleva al niño para que aprenda cuentas y leer y donde realmente son los últimos lugares donde se completa la plantilla de docentes porque la lejanía genera que se rechacen los lugares a menos que haya incentivos económicos... pero bueno eso es otra cuestión; lo que se puntualiza es que dadas esas situaciones (haiga sido... como haiga sido diría alguien) es mucha la desventaja de los alumnos y nivelar los rezagos no son imposibles pero ahí están  y con ella se debe trabajar.

Si se parte conscientemente de eso, se aceptan o reconocen esas desventajas más las que podamos tener como responsables de los grupos sería buen inicio. Como parte de ello se ha tratado de generar esta serie de aportes a manera de sugerencia para quienes tengan a bien leerlos y tomarlos en cuenta en sus lugares de trabajo o desde sus hogares para contestar alguna tarea. Como lo dice el título, se trabajará sobre los conceptos de razones y proporciones; hasta la fecha, en este blog se ha trabajado sobre algunos contenidos de la escuela primaria mexicana donde se aluden, y la información que se plasma la encontré en un libro denominado Curso de Matemáticas: libro segundo elaborado por el Maestro Miguel Preciado Cisneros y el Químico Carlos Toral Gutiérrez editado en 1958 y en su prólogo mencionan que es para el segundo año de secundaria.

En el libro nos dice que: "Razón es el cociente indicado entre dos cantidades de la misma especie" y "Proporción es la igualdad de dos razones". Se ha mencionado que la razón de una cantidad a a otra que denominaremos b se escribe de diferentes maneras a : b o a/b y significa o se lee a es a b; la primera cantidad se conoce como antecedente y la segunda como consecuente por lo que al representarse en forma de fracción corresponden al numerador y denominador respectivamente. Cómo interpretamos la imagen de fondo amarillo, se interpreta que la razón de lo que gana es 4/3 de lo que gasta...  y la segunda interpretación se enuncia así: lo que gasta es 3/4 de lo que gana. Es en esta segunda interpretación donde se puede entender mejor, el cociente es .75 ó en porcentaje 75% y el lector estará de acuerdo que gasta dicho porcentaje o fracción del total del sueldo en despensa que corresponde a 600 pesos; mientras que un alumno de primaria podría tener dificultades en entender que en la primera interpretación 4/3  que es igual a 1 y 1/3 nos dice que gana una vez más un tercio de lo que gasta. Si gasta 600 y un tercio de 600 es 200, entonces gana 800 pesos.

En líneas arribas se dice que la proporción es la igualdad de dos razones, entonces establecerlas se interpretan como a : b :: c: d o a/b = c/d (a es a b como c es a d). y así como ya establecimos cual es el antecedente y cual el consecuente, al estar presente dos razones llamaremos extremos al numerador a y el denominador d y medios al denominador b y el numerador c; es importante identificarlos ya que el alumno entraría a conocer los principios relativos a las proporciones.

En la escuela primaria no sé hasta que punto se puede trabajar, pero lo que si sé que al menos el compañero docente comprenderá el principio que aplica en la mentada regla de tres simple que se ejecuta muy socorridamente al tratar de resolver problemas. Pongamos en juego algunos datos trabajados en esta misma página. Ejemplo: si ya sabemos que Juan gana 800 pesos y conocemos que gasta 600 pesos en comida, podríamos plantear al niño que nos diga qué porcentajes del total del sueldo se emplea en mandado. Otro problemas sería el preguntar cuánto gana Juan si sabemos que 600 pesos es 3/4 de lo que gasta; en las ilustraciones se grafica el proceso a través de las operaciones, lo que interesa es que se observe que el producto de los extremos es igual producto de los medios y viceversa que es uno de varios principios relacionados a las proporciones.

Hasta aquí se comparte lo anterior, ojalá sirva a quien se dé la tarea de leer estas líneas.

DESAFÍO MATEMÁTICO 84... ¡ENTRA EN RAZÓN!... SEXTO GRADO

El desafío matemático 84 es el penúltimo del libro de sexto grado y está diseñado para que el alumno represente razones mediante fracciones equivalentes. En los problemas planteados se alude a personas y éstas se representan numéricamente en dos elementos distintos o dicho de otra forma subconjuntos y el conjunto sería habitantes de X lugar. Hasta este desafío, se supone que los alumnos ya han trabajado problemas que implican el uso de la razón por lo tanto una recomendación en las consideraciones previas es que se le permita las despliegue y sea orientado en caso de presentarse dificultades. 

Partiendo de la comprensión de las preguntas la primera tareas pide se haga una comparación entre dos comunidades, donde en la primera se dice que 3 de cada 4 habitantes habla una lengua distinta al español, mientras que en otra comunidad son 5 de cada 7; con esos datos primeramente el alumno debe entender que se plantea como dato antecedente el 3 en el primer caso y el 5 en el segundo, mientras que el 4 y el 7 serían los consecuentes, conociendo que para representar fraccionariamente una razón primero debemos establecer su antecedente y consecuente y que se colocan en el numerador y denominador respectivamente, obtenemos las fracciones 3/4 y 5/7.

Cómo se interpretan, se dice... la razón de 3 (hablantes de lengua distinta al español) por cada 4 (habitante de X comunidad) es 3/4 o también de dice... la razón 3 de 4 es 3/4 y 5 de 7 es 5/7. Como cada número fraccionario es un cociente en si mismo, el obtener el resultado de ambas fracciones nos permite entender si son fracciones equivalentes o hay una proporción entre ambas o no. El resultado como lo adelanta el libro para el maestro indica que una es mayor que otra pues la primera arroja .75 ó 75% si se transforma a porcentaje, mientras que la segunda fracción muestra .7142..., desde ese momento ya se establece la respuesta al inciso a, mientras que para el inciso b adelanta el material del docente que se acude a la equivalencia de fracciones para poder contestarla... su diferencia es 1 habitante por cada 28.

Aquí lo que se trabaja, está ejecutado desde las sugerencias del libro del docente en una sucesión de operaciones que privilegian eso, el hacer cuentas como dicen los niños para encontrar el resultado y claro es importante desarrollar dicha habilidad, lo importante es acompañar situaciones didácticas que incluyan gráficos o se esté abierto a cualquier estrategia que el alumno despliegue. 

En los dibujos se propone que se establezca también una relación, por ejemplo en los datos es percibido que por cada 3 habitantes no hablantes de español hay 1 que que si habla español, o sea una relación 3 a 1 y en el otro caso una relación 5 a 2, con esos datos se puede establecer una razón 3/1 y otra 5/2 y jugar con las equivalencias 30/10 y 50/20 por tanto se puede interpretar 30/10 y 25/10 ó 50/20 y 60/20 por tanto concluir que por cada 30 que hablan una lengua distinta al español de un pueblo hay 10 que sí hablan español, mientras en el otro por cada 25 que hablan una lengua distinta al español hay 10 que hablan español; o en El Cerrito por cada 60 que hablan lengua distinta al español hay 20 que hablan español mientras que en El Paseo por cada 50 que hablan lengua distinta al español hay 20 que hablan español; al igualar uno de los dos elementos, el alumno comprenderá por ejemplo que a cantidades iguales de hablantes de español entre una y otra comunidad, en la primera hay más habitantes que hablan lengua distinta al español. En la imagen de arriba donde se establecen las relaciones se debe tener cuidado por ejemplo en la comparación 3 a 1 y 2.5 a 1... por qué, porque estamos hablando de personas y se imaginan decir:"En El Cerrito por cada 3 que hablan lengua distinta al español 1 habla español mientras que en El Paseo por cada 2.5 personas..." indudablemente no hay medias personas.

Para la segunda tarea, la respuesta se pretende que el alumno acuda a la simplificación de las fracciones establecidas como razón y así se encuentra al grupo que obtuvo mejor aprovechamiento. 

En este problema el uso de gráficos que representen alumnos sería algo complicado, pero de un modo u otro se pueden elaborar, las fracciones establecida para el comparativos respectivamente  para el grupo 1 es 18/30 y para el grupo 2 es 32/40 aunque (tal vez, intencionadamente) la redacción indique primero el total de 30 y 40 alumnos y la parte de aprobados 18 y 32 las mencione después... eso no tendría realmente importancia ya que se puede establecer la razón 30/18 y 40 /32 y lograr el resultado deseado siempre y cuando el alumno comprenda que el numerador (antecedente) estaría hablando de total de alumnos de grupo y el denominador (consecuente) de alumnos que aprobaron.

Buscando una relación se obtiene también respuesta a los planteamientos, sería demás comentar lo ya expuesto líneas arriba, con las imágenes se puede interpretar la intención de no dejar de lado el uso de imágenes al momento de apoyar a los alumnos. Hoy se presentan dirigidos al docente como una sugerencia... y para algún padre de familia o persona que ande vagando por aquí. Ya se comentó que en las recomendaciones previas del libro para el maestro se alerta sobre los posibles caminos que puede seguir o no el niño, espero que el tratarlos aporte algo y no redunde en lo expuesto en esos textos, el propósito es ser una opción más. Un saludo

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO 2015... LOS JUGOS (Técnica de conteo: combinación)... SEXTO GRADO

Una de las técnicas necesarias de aprender en la educación primaria es la de conteo. 

En la pregunta 26 del examen pasado se plantea un problema que alude a la elaboración de jugos de frutas mezclados de dos sabores. 

La obtención de los diferentes sabores que se pide en la tarea se logra mediante una regla o fórmula llamada de combinación, pero para la educación primaria creo es adelantado un contenido que maneje dicha fórmula... pero no el contenido donde el alumno realice ya sea permutaciones o combinaciones de elementos.

Por qué es un trabajo de combinación. Lo es porque en la tarea no importa el orden en que represente la elaboración de los jugos, es decir, si primero representa la bebida de naranja y mamey, o de mango y mamey. Lo que se pretende es que ejecute las combinaciones posibles para que logre el resultado que se pide.

Aquí se presentan gráficos de posibles alternativas de solución, lo interesante en el trabajo de desafío o acertijos es que el alumno con la guía del maestro llegue a su solución y explique cómo lo obtuvo. 

Aquí la cuestión es que es un examen, con un límite de tiempo y sólo si hubo un trabajo exhaustivo con este tipo de problemas... entonces el alumno no pasó alguna dificultad. La fórmula llamada de combinación que nos permite obtener el resultado de manera breve y acertada, se incluye aquí como ejercicio para que los compañeros de trabajo que creo la han ejecutado tengan la certeza del resultado.

Dicha fórmula se trabaja con números naturales y es útil en problemas de probabilidad, permutaciones y combinaciones. Para el problema, se representa en la imagen sus respectivas sustituciones, recordando que el símbolo (!) después de cualquier número natural es una multiplicación como se muestra enseguida: (4!=4X3X2X1=24).

Las opciones del problema planteado y escrito en la primera imagen son: a) 2; b) 3; c) 4 y d) 6. La experiencia con los alumnos que presentaron dicho examen es que lo leían y releían pero no observe a nadie hacer un gráfico o algunas operaciones, simplemente elegían una opción, posiblemente algunos lo hicieron en el ovalo acertado... bueno, tenían pocos minutos para eso.

Ojalá algún compañero aplicador comente su experiencia sobre este examen. Un saludo... Y si las combinaciones de jugos fueran de tres frutas, cuántos sabores diferentes obtendríamos...

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO 2015... EL ARMARIO... SEXTO GRADO

Siguiendo con la serie de preguntas que vienen en el examen aplicado en la reciente Olimpiada del Conocimiento para alumnos de sexto grado, nos centraremos en el reactivo 31. En dicha tarea, se indica al alumno que al pintar un mueble se emplearon dos colores y en la combinación se gastaron exactamente 2.1 l de pintura. Los datos que se dan es por cada ¹/₅  de color cerezo se agrega ½ de color roble… en fin la revoltura de ambas cantidades proporcionalmente debe ser la misma para la cantidad gastada.

En la historia propuesta se emplean números fraccionario (¹/₅ y ½) y números decimales (2.1). De los números fraccionarios podemos decir que son propios pero que al transformarlos se convierten en fracciones decimales cuando se encuentra su equivalencia entre los denominadores de un número simple (2 y 5) por llamarlo de una manera a un número con potencia 10 (10, 100, 1000…) como se muestra en la imagen.

Saber lo anterior es lo que permite al alumno encontrar el resultado. Primero realizar la suma respectiva ½ + ¹/₅ y posteriormente sumar el resultado hasta obtener la cantidad de pintura que se utilizó. Con los ejemplos que se muestran espero sea útil, pero sobre todo que sea una forma más de la que ustedes hayan trabajado con este tipo de ejercicios.

Son varios los saberes que se conjugan para resolver las tareas como la aquí realizada y que un alumno debe de emplear, pero insisto que es limitado el tiempo para ejecutar los razonamientos adecuados. Pero reconozco que los creadores de este ejercicio han de haber ponderado lo anterior… eso espero.