LA FLOR DE LA ABUNDANCIA... ESQUEMAS DE ÁRBOL

La flor de la abundancia, así se llamó a una estrategia —por así denominarla— que se empleaba con la promesa de obtener  unas muy buenas ganancias monetarias a quienes participaba. La seducción por obtener dinero de manera fácil hace que las personas arriesguen su patrimonio económico sin analizar consecuencias ya sea para ellos mismos u otros. Cada cierto período de tiempo resurge este truculento negocio, recientemente por el 2015 hubo muchas personas que se beneficiaron y un número considerable que perdieron una buena cantidad de dinero. 

Sirva lo anterior de preámbulo para el presente trabajo que nos narra Y. Perelman en el texto matemáticas recreativas y que la Secretaria de Educación ofrece a los maestros en la biblioteca denominada “Libros del Rincón” de donde la retomo. En el tema 52 de dicho libro nos propone un problema y su trama narrativa enuncia que los comerciantes en su afán de obtener ganancias por sus productos de mediana calidad han recurrido a estrategias como la enunciada al principio.  

Dice que parten de publicar anuncios como el que está en el recuadro inicial. En qué consistía, a las personas que caían en su engaño enviaban 10 pesos a la empresa y ésta le mandaba 4 boletos que debía vender en 10 pesos cada uno y remitir posteriormente los 40 pesos recabados y entonces ahora sí le enviaban su flamante bicicleta. ¡Una bicicleta en 10 pesos! Efectivamente, la única molestia era vender los 4 boletos, pero —aparentemente— valía la pena. 

El argumento del primer vendedor era convencer a los adquirientes que con ese boleto la empresa de bicicletas lo canjearía por otros 5 boletos y que al venderlos ahora a 5 persona y al remitir el dinero se les entregaría una bicicleta que volvió a costar 10 pesos pero ahora con el cambio de que tuvieron que vender un boleto más que el primero… sucesivamente cada comprador lo canjearía por otros cinco boletos y al hacerlo remitir el dinero para poder recibir su bicicleta. 

Así como en la mentada flor, “…daba la sensación de que en todo esto no había engaño alguno…” como menciona Perelman en su libro y que denomina la avalancha o bola de nieve. Quienes se beneficiaban en este fraude, los iniciadores y los primeros que adquirían los boletos… en la mentada flor de la abundancia los iniciadores eran familiares entre sí y poco a poco iban alejándose del parentesco dejando el peso de todo a los últimos. 

En los recuadros se muestra la explicación. Inicia con 1, este hombre a otros 4, estos señores a 20… y después tendrían que encontrar a 100. Hasta aquí van 1 + 4 +  20 + 100 y nos dice el texto que efectivamente van 125 personas de las cuales 25 han recibido su bicicleta y 100 tienen la promesa de una si venden sus 5 boletos. Esto requiere de 500 personas, 500 +125 son 625 personas que equivale a 125 bicicletas entregadas y 500 posibles dueños de ese artefacto si acomodan sus 5 boletos cada uno. 

Aquí es donde colapsa o empieza a tambalearse porque se requieren 2,500 personas, se imaginan con esa mentada flor, hay pueblitos que apenas tienen esa población entre niños y adultos. Pero si se es optimista, se viaja a un pueblo más grande o se recorre una ciudad buscando 12,500 incautos para que la tienda siga progresando y entregue 3,125 bicicletas… ahora esos 12,500 hombres deberán convencer a 62,500 si es que quieren tener su bicicleta,  deberán defraudar a toda una ciudad para que 15,625 personas se pasen en sus aparatos. 

Desde un inicio 1 recibía bicicleta y 4 promesa de bicicleta, son 5 personas pero el fraude se establece 1/5 sí recibe… 4/5 no recibe, esa es la realidad. Si nos fijamos en la cadena 125, 25 reciben y 100 no, 1/5 de 125 es 25 y 4/5 de 125 es 100 y así en todas las demás. 

Históricamente este suceso resurge cada cierto tiempo, prepárate por si no quieres salir timado. A menos que seas de los primeros aunque una gran proporción siempre terminará perdiendo, claro por su ambición. 

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2017... ESTATURAS REACTIVO 23

¿Quien es el más alto? Así se llama el desafío 35 de sexto grado de primaria que alude al reactivo 23 de la Olimpiada del Conocimiento Infantil (OCI) 2017. En el desafío la consigna es que analicen una situación de medidas de estatura, la lista la componen medidas en fracción mixta o en número con fracción decimal . Del mismo modo se presenta la tabla en el reactivo aludido y se espera que el alumno realice las comparaciones efectuando cálculos rápidos en virtud del tiempo que tiene para responder el instrumento que constó de 80 preguntas. La forma de efectuar estos cálculos es transformar las fracciones mixtas a números enteros con fracción decimal, para eso ya debe tener noción el alumno que 1 3/4 de metro es equivalente a 1.75 y 1 5/10 es igual a 1.5 ó 1.50 de metro... con lo anterior se puede hacer el comparativo para decidir cuál es la persona más alta.

Aprovechando que tenía el material para explicar el desafío 35 en las vistas de asesoría, lo incluyo en este tema. Por cuestión de espacio se omiten varias diapositivas y sólo se muestran las que se consideran adecuadas para el tema. La intención didáctica nos lleva a comparar fracciones y decimales.

La consigna que está en la imagen de frente nos muestra que es mediante la comparación de estaturas y en el cuadro de abajo un cuadro donde se efectúan los cálculos para hacer explícito el proceso. En el se anotan las estaturas en el orden que aparecen en la tarea.

Se hace un ordenamiento de menor a mayor para contestar algunas preguntas en el libro de desafíos, pero se pasan para mostrar la última tarea que lleva al alumno a efectuar un ejercicio primero de comprensión que se muestra en la imagen del párrafo siguiente.

La tarea marcada con la letra "c" pide que se calcule la estatura de Tere pues los datos que mencionó fueron muy ambiguos ya que dijo que media (más o menos) 1.50 m pero con los datos ya mostrados de los otros alumnos se puede establecer su estatura.

En el desafío 35 y a partir de ahí se trabaja para introducir al alumno en la noción de densidad en este tipo de números (fraccionarios y decimales). La imagen de enfrente nos lleva a entender lo anterior, entre dos números se encuentra otro y aunque pudiera parecer difícil para el alumno, es en este grado donde se debe trabajar dicha noción.

Como se menciona en el tema anterior que alude a reactivos de la OCI 2017, se muestra que sí hay ejercicios específicos donde se debió trabajar esos contenidos. Espero comentarios, observaciones y sugerencias sobre lo que aquí se está tratando

OLIMPIADA DEL CONOCIMIENTO INFANTIL 2017... CALCULAR DISTANCIAS

El reactivo 30 de la Olimpiada del Conocimiento Infantil 2017 nos presenta un desafió que involucra el manejo algunos conceptos aplicados a la interpretación de mapas. Este ejercicio es trabajado en el  libro de desafíos matemáticos precisamente en el numero 17 denominado ¿Cuál es la distancia real? 

Para trabajar el desafío mencionado, se tiene que partir de la interpretación que se dé a las escalas. La escala que se trabajó o debió haberse trabajado en el desafío 17 es la llamada escala gráfica y esta representa directamente la medida y para verificarlo se debía únicamente medir como se muestra en la figura de abajo.

El desafío 18 sigue trabajando la escala pero en ese caso es la numérica. la imagen de la izquierda (del desafío 17) muestra el mapa trabajado en esa ocasión y que fue objeto de trabajo en noviembre de 2014 en este mismo blog. 

En el se aprecia que cada centímetro equivale a 10 kilómetros y calcular la distancia real entre los puntos (cerros) solicitados en las consignas era cuestión de medir y trasformar multiplicando por el valor que representa; se insiste en aclarar que el desafío 18 se trabaja la escala numérica pero para el caso de la pregunta 30 de la olimpiada del conocimiento se aprecia claramente la indicación en el mapa señalando que es una escala gráfica. 

En este tipo de exámenes es común encontrar reactivos que muestran una dificultad no solo al alumno, se puede encontrar cierta duda en los mismos docentes. Al momento de su aplicación la conversación con los compañeros de las escuelas multigrado que acudieron a la comunidad del municipio de Pueblo Nuevo donde fueron citados era precisamente sobre dicha pregunta.

La duda surge porque el distractor se da al ver que el segmento entre las comunidades representadas en el mapa donde se pide calcular la distancia real indica que son 6.5 cm... pero al medir la escala gráfica nos muestra que ese segmento característico es de 2 cm. Si un centímetro equivale a 50 kilómetros 6 centímetros equivaldrían a 300 kilómetros más 25 k del medio cm faltante.

Dejo abierto el tema esperando aportaciones de ustedes... el propósito era entrar a la parte que justificara primero que sí fue trabajado el contenido o al menos ahí está en el libro de desafíos matemáticos y dos que se diseñaron desafíos para los dos tipos de escalas(gráficas y numéricas). 

Aclarar que aprovechando los recurso del Internet se puede consultar la distancia que existe entre estas dos comunidades. Por carretera 245 kilómetros... en línea debe ser menos... si confiáramos en la información que da dicha página.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES... UN REACTIVO DE CALCULO MENTAL PARA EL SisAT

Teniendo en cuenta que entre los reactivos o preguntas de calculo mental del llamado SisAT (Sistema de Alerta Temprana) que se le hacen al niño en la aplicación del instrumento específico para sexto grado está una multiplicación de fracciones, al respecto se elabora este trabajo con la intención de mostrar algunas sugerencias para su aplicación aclarando que en los desafíos se introducen estos conocimientos y para ello el maestro pude observarlos a partir del número 60 para su análisis.

Salvador Llinares C. nos dice en el libro: "Fracciones, Matemáticas, cultura y aprendizaje" que hay una total desvinculación entre el manejo del algoritmo (multiplicación con fracciones) y la resolución de problemas. La necesidad de trabajarlas entonces nos llevará al manejo del modelo de área para su entendimiento y otras situaciones donde pueda aplicarse. Aunque añade que en sí mismo el uso del algoritmo a veces se estime como un procedimiento dudoso, se espera que el maestro cree situaciones didácticas diferentes para trabajar este tipo de contenidos.

Pero vayamos al reactivo -único- de multiplicación de fracciones. Se pide al niño que calcule cuánto es 1/2 X 2/3, es tradicional se enseñe al niño que al multiplicar puede sustituirse la palabra "por" con la palabra "veces" [4 X 5 cuatro veces el cinco = 5 + 5 + 5 + 5] y esto se aplique a la multiplicación de fracción [un medio o una media vez dos tercios]. Decir lo anterior podría desde la argumentación que una media "vez" tendría más sentido si se dice una media o un medio "de" un cuarto y significaría lo mismo. Entonces 1/2 por 2/3 equivale a 2/6 que simplificado es 1/3.

En el ejemplo preparado para esto vemos que incluir por el momento la palabra "de" por "veces" mejoraría el entendimiento desde la pronunciación misma. Fácil es comprender la mecánica desde el cálculo escrito, multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. La imagen hace explicito que un medio de un tercio (donde primero se identifica el tercio) es un sexto del total de la figura.

En el ejemplo de 4 X 5 se comenta que es 4 veces el 5 [5 + 5 + 5 + 5], la propiedad conmutativa nos indica que 4 X 5 = 5 X 4 y nos arroja el mismo resultado 5 veces el 4 [4 + 4 + 4 + 4 + 4] = 20. Tiene sentido la ejecución de operaciones similares pero, ¿sólo operará en ejercicios de fraccionar figuras geométricas?

Si tuviéramos 16 piñas (de pino) y se quiere saber cuantas son en 1/4 de 1/2 del total de piñas. Como ejercicio comprender que se requiere hacer una multiplicación de fracciones [1/4 X 1/2], aunque implica posteriormente ejecutar con el resultado otra operación como se muestra al lado donde al número natural se convierte en fracción impropia, su resultado otra fracción que al ser simplificada nos indica que 1/8 corresponde a 2 piñas. Tomar lo anterior como ejemplo.

En un contexto imaginario podríamos crear una situación didáctica con la siguiente pregunta: ¿Cuántos kilómetros ha recorrido Juan si ya cubrió la distancia de 3/4 de 2/3 del total del camino que mide 9 k? Es obvio que sabemos el resultado... 6/12, simplificada la anterior fracción observamos que es 1/2 y un medio de 9 k son 4.5 k; de la misma manera observamos que funciona como operador tal y como se anota al pie de la figura.

Tal vez tenga sentido las palabras de Llinares al manifestar sus dudas, pero por otro lado algo tenía que surgir al respecto. Espero contribuya lo anterior en algo.

CALCULANDO SUMA (y resta) DE FRACCIONES... CÁLCULO MENTAL

Identificar y aplicar técnicas de cálculo numéricas y algebraicas, tanto escritas como mentales es el tercer propósito de la asignatura de matemáticas y como tal está plasmado en la propuesta curricular para la educación obligatoria 2016. Tradicionalmente se ha trabajado el cálculo de forma escrita pero mentalmente se ha practicado en baja escala por no decir nula. En el manual de toma de lectura, producción de textos escritos y cálculo mental editado como apoyo a los supervisores por la SEP justifica su uso como una actividad que ayuda a entender las operaciones que ejecuta el niño cuando se traslada a lo escrito.

En un primer momento se ejecutó el proyecto como muestreo en algunas escuelas, actualmente se aplica de manera general en el caso del estado de Durango a la totalidad de alumnos de dos escuelas en cada zona escolar. Sin entrar en detalle, la pretensión de este trabajo es presentar algunas sugerencias para posteriores ejercicios en la suma (y resta) de fracciones con los alumnos pero que primero se debe analizar por los maestros antes de desplegar sus estrategias didácticas.

De las preguntas realizadas sugeridamente para examinar sobre fracciones, sólo se aplica a alumnos de quinto y sexto grado. En quinto se ejecutan sumas y restas con igual denominados [preguntas 3 y 4], que supuestamente no debe traer complicaciones si ha sido trabajada en el aula; una suma con denominador diferente [pregunta 8] pero que sí es analizado el contenido se percibe que se puede establecer una equivalencia [(1/2 = 2/4) + 1/4 = 3/4]; y la resta [pregunta  9] donde pide se encuentre la diferencia entre el entero y una fracción.

Cómo se podría interesar a los niños para encontrar soluciones que les permitan contestar este tipo de ejercicios sin sentirse frustrados. Es mediante plantear ejercicios similares hasta que encuentren ciertas regularidades que de antemano se debe entender que operaría para algunos ejercicios pero no a la totalidad..., en el caso de la suma y resta de fracciones [con igual denominador] es indispensable que se adquiera la noción de que su respuesta está en entender el proceso de sumar (o restar) las cantidades que representan los numeradores, recordando que los denominadores no se aplica suma o resta; de antemano es un proceso aparentemente simple pero que en la lógica del niño acepta la explicación aunque queda la duda por qué a los (números) de arriba sí se modifican y los de abajo no. En este momento lo dejamos hasta ahí.

Es tradicional trabajar en el aula que un entero [1] es presentado (o es equivalente) a una fracción con igual numerador y denominador, p. e.: 2/2, 3/3, 4/4, 5/5,... en el caso de la pregunta nueve [para quinto] una estrategia para una respuesta rápida sería pensar cuánto falta del número indicado por el numerador (p.e. el #3) para igualar al número que representa el denominador (p. e. el #4)... la respuesta se colocaría en el numerador (falta 1) y trabajar la noción de que el denominador no sufre alteración ya que se está ejecutando la operación 4/4 - 3/4.

Sexto grado incorporó cuatro cálculos, en ellos ya se aprecia la suma y resta con fracciones cuyo denominador  es diferente pero se puede establecer una equivalencia; el numerador representa la expresión mínima de cualquier fracción [una parte de...], lo anterior permite centrarse en los denominadores, la habilidad consiste en tener la noción que 1/2 = 2/4 (para la suma) y 4/8 (para la resta) y 1/3 = 2/6 . 

A diferencia de el cálculo escrito que nos podría permitir amplificar el medio y tercio por ser divisores de 4 y 8 (el medio) y de 6 (el tercio) o recurrir a realizar las operaciones de multiplicar numeradores y denominadores contrarios para después sumarlos y encontrar el valor del numerador, además de multiplicar ambos denominadores para establecer el valor del denominador, esta operación implicaría mayor tiempo en un cálculo mental que requiere una respuesta en cierto período de tiempo.

En el cuadro que acompaña este párrafo se propone una forma de cálculo que en realidad sería similar a un cálculo escrito con la diferencia de que no realizaría la conocida multiplicación de denominador por multiplicador ya que sería lo mismo porque los problema propuestos manejan una parte de x fracción [1/2, 1/3, 14, 1/6 y 1/8] lo que ayuda en el caso de las sumas de fracciones a encontrar el resultado de denominador + denominador y colocarlo en el numerador y multiplicar ambos denominadores para establecer el denominador... el resultado en el caso de la pregunta 7 y 8 de seto grado serían 6/8 y 9/18 respectivamente. No es lo que se espera pero es respuesta correcta y más rápida, sólo está faltando una simplificación de cada fracción [6/8 = 3/4 y 3/6].

En el caso de la pregunta 9 que involucra resta (y donde el numerador es 1), en el recuadro amarillo se plasma una sugerencia donde se opera sólo los denominadores y creo es explícito en sí mismo... que de igual manera el resultado no es el que se indica en las posibles respuestas de la guía pero que es correcto y se comprueba con la simplificación, pero en el momento se debe aceptar como válido ya que sus verificaciones se deben hacer en el plano escrito o mental pero con detalles y explicaciones en su análisis. Hasta aquí me quedo ya que la pregunta 10 maneja una multiplicación de fracciones y lo interesante sería entender por qué se llega a ese resultado.

LA NOCIÓN DE NÚMERO... PRIMER GRADO

En esta ocasión comentaremos sobre el concepto de conjunto para adentrarnos en la apropiación del concepto de número. Y me remitiré a la aportación de Meserve y Sobel de su texto Introducción a las Matemáticas, libro que la SEP (Secretaría de Educación Pública) editó en el lejano 1975 y dice: "Un conjunto es una colección de cosas que reciben el nombre de elementos o términos del conjunto". 

En su explicación mencionan que un conjunto se debe definir para poder establecer claramente los elementos que lo componen; por ejemplo, definimos el conjunto de los números naturales del 1 al 10 se establece {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} como sus elementos. Aclara que hay conjuntos no definidos como: el conjunto de las buenas películas, pero en este caso se trabajarán conjuntos definidos.

El manejo de conjunto en la educación primaria permite establecer la noción de número. La dosificación de la propuesta curricular para la educación obligatoria 2016 marca que en el primer ciclo el alumno debe comunicar, leer, escribir y ordenar números naturales hasta 1,000. Se desprende entonces que el docente debe manejar la noción de conjunto y numero natural.

En el conjunto definido de números naturales del 1 al 10 establecemos que tiene 10 elementos, podemos definir el siguiente conjunto de letras: {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, Hasta aquí valga la explicación para comprender que también empleando símbolos podemos conformar conjuntos y que existe una relación entre cada elemento con la sucesión de números a partir del (1) uno. En la escuela primaria, se puede realizar lo anterior de forma gráfica o directa empleando dibujos u objetos para inducir al niño el concepto de número que dada la edad asocia más fácilmente con la representación de cosas o personas.

Así se introduce en el primer grado de educación primaria en México la noción de número. En el desafío 1 se busca que el alumno establezca igualdades haciendo comparaciones; los posteriores desafíos lo llevan a manejar el concepto mayor que, menor que; en el tercer desafío lo lleva a buscar igualdades de elementos; el cuarto y quinto desafío le permiten ir reconociendo oralmente sucesiones de elementos y números de manera ascendente y descendente.

Hasta este momento se inicia con colecciones de 10 elementos para posteriormente explorar colecciones mayores de la decena. En estos cinco desafíos se puede arma un proyecto para trabajarlo en varios días hasta lograr que los niños se apropien de esa relación elementos <> número; del sexto desafío al noveno se establece como meta conocer las regularidades del 1 al 30 aunque se deja libre si los alumnos se aventuran más allá de esta cantidad.

Se destaca la importancia de manipular objetos para establecer los conjuntos o colecciones. Cada conjunto es importante aunque en los desafíos no se maneja con su número, estableciendo de este modo la relación colección o conjunto y número

Qué debemos empezar a destacar, que cada elemento representa un entero, y que la sucesión de números establece un conjunto con el número de elementos que indica. Pudiera parecer proceso tedioso pero así es como el niño se apropiara de diversas nociones que después relacionará para incorporar aprendizajes más complejos.