Enseñar y aprender lógica… los tres nativos

El presente ejercicio fue tomado de un texto de Irving M. Copi. Copi fue un escritor norteamericano muerto a inicio del siglo xxi, en 2002. 

Los ejercicios llaman la atención ya que fueron empleados en algunos cursos de actualización en nuestro país (México) para maestros de educación básica. En el presente trabajo se muestra uno de sus acertijos por llamarlos de ese modo, la intención es tratar de argumentar una posible solución; al final del texto de donde fue tomado el acertijo se encuentran las respuestas, se incluyen pero recomendando ejecutar primero el ejercicio. El libro en cuestión se llama Introducción a la lógica, y Carl Cohen es coautor.

Plantean el siguiente ejercicio:

En cierta comunidad mítica, los políticos nunca dicen la verdad y los no políticos siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra con tres nativos y le pregunta al primero de ellos: "¿Eres un político?"

• El primer nativo responde a la pregunta.
• El segundo nativo dice entonces que el primero negó ser un político.
• El tercer nativo dice que el primer nativo es un político.

¿Cuántos de los nativos son políticos?

En los cuadros en negro están los argumentos construidos y después la comparación donde el autor responde a la pregunta. Es más claro lo que nos dice Copi, sin embargo lo interesante son los posibles argumentos que puedan surgir.

Podríamos preguntarnos si se deberían introducir planteamientos como el anterior en la escuela primaria, la respuesta es sí, las actividades para empezar bien el día trabajadas en las sesiones de colegio cada fin de mes son muestras que sí se puede.

Trabajar con la lógica lleva a seguir ciertas reglas, reglas que no necesariamente se dominan, pero que la intuición nos puede ayudar, la intuición dice E. de Gortari llevan al individuo que travesee con ciertas posibilidades para inferir un resultado. Y es precisamente lo que se sugiere, crear “juegos” que interesen a los niños para que desarrollen su predicción y puedan realizar inferencias.

Un ejemplo sería el cómo se llega a concluir que la respuesta del primer nativo fue un rotundo no, en ese caso se transforma en un dilema… si es un juego tendríamos que entender como primer paso que hay dos opciones, o es una cosa o es otra (es político o es no-político); el paso dos es tomar la primera opción y convertirlo en un antecedente (es político) el resultado anunciarlo con la palabra entonces y el consecuente o lo que contestaría quedaría así… (Soy no-político) porque los políticos nunca dicen la verdad; el tercer paso de igual forma tomar ahora la segunda opción como antecedente (es no-político) entonces el consecuente o lo que contestaría es (soy no-político) porque los no-políticos dicen la verdad… el cuarto paso (de estos tres pasos) es entender que los dos consecuentes como resultado forman dos opciones (soy no-político o soy no-político) y eso lo respondería cualquier personaje para no contradecir su naturaleza.

Puede parecer simple, incluso para algunos algo ridículo, pero en este caso se aplica una regla (silogismo disyuntivo) para cumplir las condiciones de ese mundo mítico, el pensamiento lógico las tiene, no es el caso adentrarse en ellas pero si mostrarlas, crear problemas similares hasta que se entienda el proceso.

Si observamos los dos últimos recuadros, podemos contestar que de los tres nativos uno es político, se siguió empleando la regla del dilema pero se auxilio con la conclusión del primero para los otros dos ya que ese (el primero) no se prestaba a dudas y poder elegir la conclusión correcta, inferencia sería mejor empezar a decirlo de ese modo, recuerden es concluir después de haber realizado un proceso para llegar a un resultado. Agradeceré sus comentarios.

Si se elige que 3 es el No-P, 1 es P. Pero 1 puede ser el P y 3 No-P... sólo uno de los dos es P o No-P... ¿Se podría llegar a conocer cuál?

Muestro, para finalizar la conclusión del autor.

Enseñar y aprender lógica... La máquina de Beatriz...

Beatriz tiene una máquina curiosa o será una curiosa máquina, bueno para evitar entrar en “no es lo mismo decir…” diremos que se trata de una máquina singular con las siguientes funciones:

a) Tiene cuatro entradas E₁, E₂, E₃ y E₄.

b) Tiene cuatro salidas S₁, S₂, S₃ y S₄.

c) Lo que entra por E₁ sólo sale por S₁ invertido de derecha a izquierda.

d) Lo que entra por E₂ sólo sale por S₂ al revés (patas para arriba).

e) Lo que entra por E₃ sólo sale por S₃ al revés (patas para arriba) e invertido de derecha a izquierda.

f) Lo que entra por E₄ sólo sale por S₄ derechas pero amplificadas por el factor 3.

La autora del libro donde tomé este ejemplo tiene como propósito que el maestro conozca las formas de pensamiento lógico que emplean los alumnos para resolver problemas de este tipo.

Busca que las respuestas sean justificadas, es decir, que realice explicaciones para mostrar por qué son correctas las respuestas y propongan una o más soluciones.

Los planteamientos que realiza son:

Para que la figura salga como se muestra a la derecha por S_2, ¿cómo debe ser introducida por E_1?

¿Cómo saldría la figura por S₂ si es introducida como se muestra a la izquierda por E₁?

¿Cuál figura no sufriría alteraciones si se introduce por E₁, E₂ y E₃?

¿De qué forma saldría la figura P si primero se introdujera en E_1, después en E_2, enseguida por E₃ y finalmente por E₄?

Para ejercicios como estos, los alumnos podrían emplear material trasparente como diapositivas que manipulen durante un tiempo pertinente, pidiendo que oralmente vayan postulando sus hipótesis, posteriormente de manera escrita y finalmente en pruebas se planten de opción para que traten de mentalmente llegar a la respuesta correcta. En el proceso se necesita que vayan justificando sus pasos, de esa manera empíricamente inicie su pensamiento lógico.

La autora sugiere que este tipo de exámenes vayan encaminados a operar la reversibilidad; se valore su capacidad mediante indicadores; se de espacios para la justificación; incluir preguntas recurrentes como forma de confirmación de las respuestas; y observar al alumno para ver si esta razonando de manera hipotético-deductiva.

Es interesante la propuesta que realiza la autora amen del propósito general de todo el libro, para este caso, se expone sólo una pequeña parte con el afán que sea tomada en cuenta y se trabaje en la escuela primaria. El libro en cuestión es Enseñar y Aprender Lógica de Beatriz Matar.

Los problemas de tipo aditivo... dos transformaciones se componen para dar lugar a otra... CUARTA CATEGORÍA

Cuando los datos enunciados en un problema implican a dos transformaciones y éstas se componen (juntan) para dar lugar a otra transformación, estamos en el campo de los denominados problemas de composición de transformaciones. El esquema propuesto por Vergnaud muestra las figuras tanto para medidas como transformaciones pero sólo los círculos son empleados en la búsqueda de la respuesta establecida en la pregunta.

Los ejemplos mostrados por Vergnaud y Belmonte en sus respectivos libros (El niño las matemáticas y la realidad, y El cálculo en la enseñanza primaria En Didáctica de las matemáticas) están encaminados a mostrar un espacio de tiempo entre un dato y otro.

La variedad de problemas que se pueden construir están en sintonía con la colocación de la incógnita en una de las tres transformaciones.  La similitud con la segunda categoría es el espacio de tiempo de las acciones, sin enunciar alguna cantidad que represente medida porque las preguntas van dirigidas a encontrar la cantidad representada en una de las transformaciones; si se añadiera una medida inicial, se estaría en una combinación (de categorías), algo que sí se puede hacer pero que se recomienda ir quitando esas fronteras poco a poco, el trabajo por categorías es para establecer un orden pero de antemano el fin último es que el alumno visualice todas y mentalmente entienda cuando dos o más están operando en una serie de preguntas originadas en un planteamiento.

Veamos el siguiente planteamiento: Margarita toma de su sueldo 25 pesos para adquirir un refresco grande a la hora de comida, en la noche mientras miraba el televisor compró una bolsa de papas fritas, al llegar su esposo le comenta que el total del gasto ese día fue 47 pesos, ¿cuál fue el pago que hizo en la noche?

El esquema muestra que ha habido disminución en el sueldo de Margarita y que son cantidades negativas las que están operando, al establecer la incógnita en una de las transformaciones que podríamos llamar de tránsito, se pretende que el niño encuentre la cantidad que falta sabiendo ya el total de lo que resulto al final del día el balance del dinero que tiene Margarita (pero que no se sabe cuánto es), es probable que canónicamente se establezca una resta y encuentre la solución pero es importante se entienda que ha sido sustraído dinero de una cantidad equis en dos partidas durante un hipotético tiempo y el resultado corresponde a una cantidad menos de ese original y sobre esos movimientos se establecen las preguntas.

La inventiva del docente tiene que hacerse presente para redactar situaciones y establecer la incógnita en una de las tres transformaciones, para el siguiente problema podemos apoyarnos en el esquema correspondiente. 

Observa el siguiente planteamiento: Antonio compró por la mañana 16 vacas en La Campana mientras arreaba su ganado hacia El Salto, al atardecer les vendió 5 a los dueños del restaurante de Lecherías, ¿En cuántos animales aumentó o disminuyó su ganado antes de entregarlos en El Salto?

Hasta aquí lo correspondiente a la cuarta categoría, se pueden plantear problemas donde la incógnita se encuentre en la primera transformación, en este caso no hay ejemplos pero corresponde al maestro intentar hacerlo o identificar dicha situación en los libros de texto actualmente en tránsito de sustitución para la educación primaria en México para el ciclo escolar 2014-2015.

DESAFÍO MATEMÁTICO 34... FACTOR CONSTANTE... QUINTO GRADO

¿Qué es un factor constante? Sin duda es un conocimiento que supuestamente debe ser dominado por cualquier docente de primaria porque es un contenido que debe de enseñarse a los alumnos de quinto o sexto grado. En diferentes momentos durante el ciclo escolar, aparecen tareas y ejercicios donde se recurre a lo anterior en los libros del alumno.

En el libro de desafíos matemáticos para quinto grado, en la lección 34 viene precisamente un ejercicio y así lo denomina el texto, factor constante. Dentro de las consideraciones previas propuestas por el libro para el docente se espera que el alumno infiera que la medida nueva o copia como se menciona en la consigna es el resultado de multiplicar la medida original por cuatro. De golpe y porrazo para el docente ya está el camino de lo que va a suceder, llevar por una vía al alumno y que entienda que el 11 cabe cuatro veces en el 44, y por consiguiente las demás medidas de la figura original se multiplican por 4 y el resultado es la medida exacta de la figura nueva o copia.

Pero que sucederá cuando se muestren figuras diferentes y el factor de proporcionalidad no sea un número entero, es en esos momento hipotéticos en los que el niño no entiende lo que está sucediendo. Como elemento que puede ayudar al alumno, se indica que a través de la elaboración de tablas se puede comprender mejor, en este caso debe ser una que maneje una proporcionalidad directa.

En este ejercicio se buscará mostrar elemento que ayuden a ampliar el bagaje de estrategias para problemas similares. Recordando que en este blog se ha estado trabajando sobre los conceptos teóricos que se encierran al manejar o convertir fracciones.

Primero vamos hacia el par de palabra factor constante, desglosándolo podemos decir que un factor es un elemento o circunstancia que inciden en un fenómeno, pero en matemáticas es un número contenido x  veces en otro; la palabra constante simplemente se asocia con la palabra permanente. De allí que en el libro para el docente se busca que descubra que el 4 es ese número permanente contenido en cada una de las medidas de la llamada figura original. Eso nos permite saber que la medida en la copia igual a la medida 26 mm en la original debe ser 104 mm, y así ir encontrando todas las nuevas medidas.

Es cierto que intuitivamente, por inferencia (inferir es concluir decía Larroyo) hay alumnos que puedan asociar que el 44 cabe 4 veces en el 11 o que el 11 sumado cuatro veces (11 + 11 + 11 + 11) da 44, que es lo mismo que 11 x 4 = 44. Pero cómo se llega a eso, como maestros se debe entender la incidencia de una razón conformada por las medidas nuevas (que se buscarán) con las medidas originales, aunque parezca lógico decir que dicha incidencia debería partir de las medidas originales a la copia; es decir, para saber qué medida será en la copia lo que en la original mide 9 se parte de multiplicarlo por 4 (factor constante) y encontramos 36 (copia) como respuesta: el segmento debe medir 36 mm.

A esa incidencia la llamaremos razón, se construyó de los datos conocido de la figura copia que es 44 (único dato conocido como referencia) y del segmento similar en la figura original que mide allí 11 (dato que necesariamente se debe tomar por ser el segmento igual o espejo). Con ello se forma el número fraccionario ¹¹/₄ que simplificando obtenemos ⁴/₁, haciendo la división, el cociente es 4. Entonces podemos enunciar que la razón (comparación entre las medidas) de la figura copia es ⁴⁴/₁₁  = ⁴/₁  = 4 a la figura original.

Pero cómo nos explicamos que en el numerador de la fracción anotemos el 44 y no el 11, que le podemos decir al alumno. El motivo es que en el numerador se escribe el dato antecedente, y 44 es la medida antecedente que conocemos para obtener las demás medidas; en la figura original ya está escrito lo que miden y a consecuencia de ello lograremos obtener un cociente que será el factor constante.

Si hubiese tiempo podría comprobarse que dicha constante no aplica inversamente, si se quiere aplicar por ejemplo multiplicando 44 x 4 en caso de que buscáramos la medida de la figura más pequeña no daría 176 mm y sería una falsedad pues ya sabemos que en realidad mide 11 mm, para eso se necesitaría otro factor que saldría de ¹¹/₄₄ = ¼ = 0.25 y ahora sí 44 x .25 = 11 (razón de original a nueva).

Con lo anterior podemos ampliar que una razón es el cociente indicado  entre dos números que representan medidas o magnitudes y la razón que “conviene” manejar es de la figura copia a la figura original (razón de figura nueva a original).  El motivo se encuentra en primero comprender que se obtuvo mediante una división, pues una fracción es eso… y el cociente (4) nos da una proporción que se puede aplicar a las demás medidas. Encontraremos que hay otro tipo de razón, llamada por diferencia o aritmética, pero que aquí no opera.

Siguiendo con la explicación y dando una respuesta que se puede catalogar de simplista, podemos observar en las figuras del recuadro cómo del único dato conocido (44) se busca la razón por tanto al ser elegido como antecedente y respetando la regla para enunciar (una razón) pasa a ser el numerado. El consecuente  debe situarse en el denominador en este caso el 11; la operación por consiguiente fue una DIVISIÓN. Nuevamente mencionamos 44 ÷ 4 = 11 y si recurrimos al inverso de la división que es una MULTIPLICACIÓN sería 11 x  4 = 44.

Ahora sí, se empleó una DIVISIÓN con el dato conocido de la nueva figura para comprobar que dividido entre la RAZÓN se obtiene o iguala con la medida de la figura nueva, para encontrar los otros valores tendríamos que seguir haciendo divisiones pero resulta que ya no hay más medidas en la copia porque precisamente esa es la incógnita… encontrar las nuevas medidas. Por eso recurrimos al inverso de la división multiplicar de las MEDIDAS CONOCIDAS POR LA RAZÓN ESTABLECIDA (4).

Se puede si la RAZÓN fuera de la original a la copia, claro que sí, se deja un recuadro donde se muestra cómo. La extensión o vericuetos (como diría el profesor Carmelo de El Salto, Dgo.) de la explicación va dirigida al docente, como un aporte para explicarnos datos que muchas veces andan por allí nadando (de muertito) y dejando de lado.

LIBRO EL HOMBRE QUE CALCULABA... de soldados, vino y los 4 cuatros... desafíos para la escuela primaria

En los siguientes capítulos del libro se encontrarán diversos planteamientos a problemas y sus soluciones ingeniosas. Se tratan aquí algunas buscando cerrar lo que se pretendía, revivir el libro para que se rescaten los procesos allí descritos y se conviertan en situaciones didácticas acordes a lo que actualmente se está tratando de promover con las actividades para empezar bien el día y la resolución de acertijos matemáticos en las escuela primaria.

De los ejercicios allí propuestos está el uso de los 4 cuatros, con ellos buscar ingeniosamente un resultado del 1 al 10. recuerdo que ciclos escolares anteriores, en los cursos de matemáticas recibidos en el estado de Durango, se trabajaron dichos ejercicios, pero el diseñador del curso empleó tres dígitos. 

Es una buena estrategia para practicar los diferentes modos de operaciones con números enteros y fraccionarios. Si se acude al libro se encuentran las soluciones, en el cuadro verde se muestra como ejemplo, algunas no son del libro, pero la idea es esa... encontrar el resultados de los números del 1 al 10, recomiendo se busque el libro en las bibliotecas de aula es posible que aún exista, si no, en línea por Internet se localiza fácil un ejemplar con sus errores posibles pues cuando se sube de un formato a PDF por lo regular cambia algunos números o letras. 

Otro de los ejercicios allí planteados en la formación de 10 soldados en cinco líneas, bueno, uso la palabra soldados pero pueden ser 10 persona u objetos, es de los últimos capítulos. La tarea es que al mismo tiempo deben estar en cinco líneas y en cada una cuatro soldados. Con esta idea se puede variar, se observa claramente el uso de una estrella de cinco puntas, si se emplea una estrella de seis puntas se problematizaría de otra manera. La idea podría ser que los alumnos salieran al patio, lo hicieran en equipos o ellos fueran a la vez quienes se formarían para ver que estrategias usarían. 

Sin duda este libro te traería buenos beneficios, además creo que si se le muestra posteriormente a los alumnos, según el capítulo que vayan resolviendo, se aprovecharía para introducirlo a la lectura de cosas que les llame la atención y desmitifiquen a la matemática como una clase tediosa, aburrida o cansada. finalmente de los ejercicios allí expuestos, está el reparto de las botellas, el atractivo reside en que se tiene que hacer un reparto justo, se pide repartir 21 botellas, las botellas por sí misma son valiosas, y con el vino más. 7 vacías, 7 llenas a la mitad de vino y 7 totalmente llenas... otra oportunidad para trabajar con material concreto antes de ir a buscar la respuesta mediante operaciones.

En el texto se encuentran muchos más ejercicios... cuadrados mágicos, problemas de razonamiento. Lo interesante es adaptarlo al nivel de los alumnos y a sus conocimientos previos reales. Ojalá haya sido de su interés.

RAZONAMIENTO DE NÚMEROS… LECCIÓN 44… QUINTO GRADO

Como se indica en la lección, se busca que el alumno represente por medio de fracciones la razón que guardan dos cantidades. Las cantidades que se observan en la lección representan medidas mediante números enteros positivos, se habla de cantidades de paletas y de dinero. La propuesta para entender entonces la razón que encierran esas dos cantidades mencionadas es entender en qué lugar deben de ser colocadas dentro de un número fraccionario, la colocación correcta es la que permitirá entender o dicho de otra manera incorporar el conocimiento para resolver problemas similares posteriormente, ya sea en un examen o ejercicio.

Si se analiza el anuncio, se lee que ofrece el regalo de 2 paletas en la compra de ocho, aunque lo anuncia así: por cada 8 paletas que compres te regalamos 2… lo anterior podría presentar el siguiente problema para el alumno, el regalo va arriba o va debajo de la línea que representa el número fraccionario. Es ⁸/₂ ó ²/₈, el libro en sus ejemplos nos dice que lo comprado va debajo y lo regalado va arriba… pero por qué, cuál sería la explicación que se le da al niño, y sea convincente además de claro.

Miguel Preciado Cisneros y Carlos Toral Gutiérrez escribieron un curso de matemáticas allá por el lejano 1958 y nos dicen que la razón de un número x a y es x/y. O dicho de otro modo la razón de un número a otro es el cociente indicado del primero entre el segundo, añaden que nos servirá este conocimiento para hacer comparaciones… podemos decir que (enunciado como una hipótesis) si x entonces y, e interpretarlo así: si me dieron 2 paletas, entonces es porque compré 8, la razón sería así 2/8 y si simplificamos ²/₈ = ¼, un cuarto de 8 es 2… ahora sí, la razón de 2 a 8 es ¼ y debemos procurar ver que sea constante.

Volviendo a lo anterior, se entenderá que estamos haciendo comparaciones, ya encontramos la razón entre las paletas de regalo y las compradas, ahora se añaden las preguntas, a ellas se debe prestar atención y comprender donde va la incógnita. Si se compran 16 paletas la incógnita va en el numerador, si se regalan 10, la interrogante está en el denominador, en los cuadros se muestran algunas sugerencias.

Encontrar la razón mediante la construcción de una fracción se ha trabajado en temas anteriores, ahora se incorporan procesos a los ya trabajados en entradas anteriores. Se ha trabajado mediante una multiplicación directa, como se ve en el recuadro negro, allí mismo se observa el proceso de un cuarto, ir como dicen los niños, “doblando” la cantidad, “triplicando”… si se multiplica por dos el numerador, el denominador también debe hacerse por la misma cantidad, o por cualquier otro número es el caso del ejemplo A en el recuadro color mostaza, el numero guía en la fracción un cuarto corresponde donde no está la incógnita. Para saber cuántas paletas me regalaran si ya compre dieciséis, es ir con los niños didácticamente buscando dígitos manejables según su edad o conocimiento; así 4 x 2 es 8 y 8 x 2 da 16, ahora en el denominador sabemos que primero lo debemos multiplicar por 2 y de nuevo por 2: 1 x 2 = 2, 2 x 2 = 4. 

El proceso 2 (ya trabajado anteriormente) es una multiplicación directa, es para alumnos como es el caso de quinto que se supone dominan las operaciones básicas, nos preguntamos, ¿con cuál número el cuatro nos dará dieciséis? 4 x ? = 16, al encontrar ese número ya tenemos cuál número multiplicaremos por uno no resolverá la incógnita de cuántas paletas nos regalarían; el tercer proceso va dirigido a los compañeros docentes, se coloca la fracción con el dato que se busca y se pretende llegar a la fracción un cuarto. Primero se parte del dígito hacia la fracción y de regreso a la cifra que responde la pregunta; si parte del denominador, se tiene que proceder mediante divisiones  en los ejemplos está: de 16 entre 2 igual a 8, 8 entre dos 4, el retroceso es multiplicando lo último antes de llegar al 4 fue un división entre dos… entonces del 1 se parte con una multiplicación por 2 y da 2, abajo se observa que fue una división también entre dos, entonces se retrocede multiplicando nuevamente por 2 y da 4, el dato buscado. En el segundo ejemplo se parte del numerador y es también mediante divisiones, el retroceso es por multiplicaciones… más complicado, es cierto, pero no podía dejarse de pasar la oportunidad para presentar formas de resolver este tipo de problemas.

Recuerden… deben de apoyarse con ejemplos gráficos para mejor entendimiento de los alumnos. Se anexa un ejemplo (cuadro negro) donde parto de la primera fracción elaborada, ²/_8, Es ya razón al ser construida correctamente, entender que un cuarto es la forma mínima simplificada de esa fracción, los resultados buscados se pueden encontrar correctamente siguiendo los procesos ya estudiados. 

Se espera que los ejercicios de esta lección sean respondidos con lo aquí tratado y las otras estrategias que los docentes tengan para aplicar… y que pueden compartir mediante sus comentarios o páginas propias. Los demás es lo de menos… como se dice actualmente… 

El hombre que calculaba... la deuda del joyero... de acertijos y desafíos para la escuela primaria

En el capítulo cinco del libro "El hombre que calculaba", está planteado un problema de la siguiente manera:

—¿Cuál es finalmente el origen de la duda? preguntó Beremiz.
El viejo Salim contestó:
—Ese hombre —y señaló al joyero— vino de Siria para vender joyas en Bagdad. Me prometió que pagaría por el hospedaje 20 dinares si vendía todas las joyas por 100 dinares, y 35 dinares si las vendía por 200.
Al cabo de varios días, tras andar de acá para allá, acabó vendiéndolas todas por 140 dinares. ¿Cuánto debe pagar de acuerdo con nuestro trato por el hospedaje?

El joyero, claro, defendía su punto de vista y justificaba un pago de 24 monedas y medio (dinares) mediante el siguiente cálculo que es tomado del libro y se presenta en la imagen de enfrente. Hace una operación bajo la regla de tres pero tomando como base 20 : 100, mientras que dueño de la casa tomó 35 : 200, ambos buscando su beneficio. 

El personaje principal del libro hace una justificación entendiendo que no hay una razón que pudiera mostrar una equivalencia entre el dinero de posible venta y el de hospedaje, ya que la razón de 100 a 200 es (2), mientras que la razón de 20 a 35 es (1.75).

Por eso establece que la cantidad entre 20 y 35 es igual a 15, al hacer la conversión mediante la regla, encuentra que es 6 la diferencia que sumados a 20 da 26 (nota: en el libro en línea de donde tomé estos datos está primero una respuesta de 25, pero según se lee el resto, se comprende que es un error de “dedo”).

Para entender lo anterior, se construye una tabla, entendiendo que hay quince monedas entre el 20 y el treinta y cinco, pero ahora me pregunté, bueno, si se establecen las casillas, qué cantidades habrá entre los huecos del cien y el doscientos, la imagen es explícita, sumando 6.6666… a partir del cien, se encuentran los valores. Y con ello se puede establecer otras preguntas si se quiere aprovechar este planteamiento, donde da números cerrados es precisamente cada quinto si se toman como una recta numérica ambos números de la tabla. 

Se puede establecer que si la venta total hubiese sido de 120 dinar
es, el hospedaje sería de 23 dinares. Inicialmente se pensó en saltarse este capítulo  por considerarlo elevado para alumnos de primaria, pero se encierra una riqueza en su planteamiento y justificaciones, espero sirva para hacerle modificaciones acordes a la edad y avance de sus alumnos y sugiriendo el uso de elementos gráficos que ayuden a su entendimiento.

La última tabla es para mostrar lo que dice el autor que no da cantidades exactas  pero si las más aproximadas, en los cuadros de arriba están redondeadas las cantidades. Espero sea de ayuda.

El hombre que calculaba... los 8 panes... de acertijos y desafíos para la escuela primaria

En el capítulo 4 se narra el encuentro del los viajeros (El hombre que calculaba y su compañero) con el mercader Salem Nassair; sin comida, les pide compartan sus alimentos, aquí la transcripción:

-¿Traéis quizá algo de comer? Me estoy muriendo de hambre… 

-Me quedan tres panes –respondí. 

-Yo llevo cinco, dijo a mi lado el Hombre que Calculaba. 

-Pues bien, sugirió el jeque, yo os ruego que juntemos esos panes 

y hagamos un reparto equitativo. Cuando llegue a Bagdad prometo 

pagar con ocho monedas de oro el pan que coma. 

Al termino del viaje, un Visir le entrega las ocho monedas prometidas para que pague y cumpla su promesa. Entrega a uno cinco monedas y al otro tres monedas, una por cada pan que proporcionó cada viajero. Esta es la respuesta que da el hombre que calculaba:

-¡Perdón, oh, jeque! La división, hecha de ese modo, puede ser 

muy sencilla, pero no es matemáticamente cierta. Si yo entregué 5 

panes he de recibir 7 monedas, mi compañero bagdalí, que dio 3 

panes, debe recibir una sola moneda. 

El razonamiento es que de los ocho panes, cada uno comió cada vez un tercio de cada pan, por tanto comerciante se alimento de 8 pedazos de un tercio cada uno. Bueno, aquí se muestra este interesante problema para ilustrar que está operando el concepto de fracción como cociente... 

Y si había prometido pagar ocho monedas de oro el pan que hubiese comido, entonces cada pedazo equivale a una moneda. Lo siguiente es verificar lo que aportó y comió cada uno de los viajeros. ⁸/₃, fracción impropia se convierte a 2 ²/₃, fracción mixta... cada uno comió dos panes y dos tercios, en la imagen se puede verificar si representa el personaje del centro al comerciante, éste comió dos panes y un tercio de las primeras cinco piezas y un tercio de las últimas tres... se verifica que es un reparto justo ya que comió siete tercios de uno y solo un tercio de pan del otro.

Cada tercio de pan entonces vale una moneda de oro... ingeniosa solución, si el mercader no hubiese dicho que pagaría ocho monedas el pan que se comiera y si en vez de eso les compra el pan y después él lo comparte, entonces tendría que haber dado cinco monedas a uno por sus cinco panes y tres monedas al otro por sus tres panes... la forma equitativa de comérselos hubiese sido otra cosa ya que el pan le hubiera pertenecido en su totalidad. 

Pero lo interesante es que este ejercicio puede ser planteado a los alumnos. Es una buena oportunidad para seguir explorando los conceptos del uso de las fracciones.

LIBRO EL HOMBRE QUE CALCULABA… los 35 camellos... de acertijos y desafíos para la escuela primaria

El cambio de programa de estudio en educación primaria por el año 1993 trajo consigo un movimiento para que se entendiera (este importante cambio educativo), se empezaron a realizar cursos, se entregó material a las escuelas.  Lo anterior viene a colación en cuanto a la entrega de materiales, ya que en esa etapa se proporcionó un libro (al menos en el Estado de Durango, Méx.)  a las bibliotecas escolares denominado: “El Hombre que Calculaba” de Malba Tahan.

En el texto viene escrito como una interesante cuento, donde el autor hace gala de su inteligencia al resolver algunos desafíos matemáticos, se ha elegido algunos para compartirlos y proponer su uso en las clases de matemáticas, en las llamadas actividades para empezar bien el día o como variante de los desafíos implementados en las escuelas de tiempo completo o jornada ampliada.

Iniciaremos entonces con el problema: Los treinta y cinco  camellos que  tenían que ser repartidos entre tres hermanos árabes. Que viene en el capítulo tercero. De manera directa mencionaremos que el personaje principal del libro (Beremiz Samir), llega a un lugar donde en acalorada discusión tres hermanos no se ponían de acuerdo para repartirse los camellos que su padre les había dejado, en las siguientes líneas se transcribe:

—Somos hermanos, —explicó el más viejo—, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad.  A mi hermano Hamed Namur una tercera parte y a Harim, el más joven, solo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento, nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas, ¿cómo proceder a tal partición?

La solución que da el autor es sin duda muy ingeniosa, también la transcribo para después ser analizada. En un gesto bonachón, agrega el camello que transportaba a su amigo ante el asombro de éste y la curiosidad de los hermanos.

—Amigos míos, —dijo—, voy a hacer la división justa y exacta de los camellos, que como ahora ven son 36. Y volviéndose hacia el más viejo de los hermanos, habló así:

—Tendrías que recibir, amigo mío, la mitad de 35, esto es: 17 y medio. Pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por tanto, 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta división.

Y dirigiéndose al segundo heredero, continuó:

—Y tú, Hamed, tendrías que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es, 12. No podrás protestar, pues también tú sales ganando en la división.

Y por fin dijo al más joven:

—Y tú, joven Harim Namur, según la última voluntad de tu padre, tendrías que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro. Sin embargo, te daré la novena parte de 36 o sea, 4. Tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado.

Y concluyó con la mayor seguridad:

—Por esta ventajosa división que a todos ha favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado – 18 + 12 + 4 – de 34 camellos. De los 36 camellos sobran por tanto dos. Uno, como saben, pertenece al bagdalí, mi amigo y compañero; otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el complicado problema de la herencia.  

Al parecer fue un trato justo, es un problema que implica números fraccionarios, trasformación de fracciones y lo principal, el reparto “aparentemente” dejó a todos satisfechos… más satisfecho quedó el matemático, imagínense, obtuvo un camello gratis.

Pero… si se analiza el reparto, aún y cuando los hermanos obtuvieran sus camellos y se sacrificara uno para dar la parte correspondiente, de cualquier modo sobraría un animal ya que no pertenecería a nadie, el padre “aparentemente” repartió su herencia… pero no el 100% un medio, más un tercio, más un noveno no dan un entero.

Lo que realmente hace es “darle” a cada uno de los tres la parte del camello que se tendría que haber sacrificado, para eso necesitaba un animal más que pudiera permitir hacer el reparto. En la imagen podemos ver que la suma de los tres números fraccionarios es ¹⁷/₁₈, si se dobla la cantidad tanto en el numerador como en el denominador obtendríamos ³⁴/₃₆, si pensamos en ellos como números enteros que representan un conteo (contextos discretos), allí encontramos los 34 camellos “vivos” (recuerden que en el hipotético reparto anterior se tenían que sacrificar tres animales), y quedan dos, el que se ingresó y pertenece al amigo del  matemático y el que siempre sobró.

Al parecer para los hermanos no fue buen negocio el no saber sumar fracciones. Lo único que cambió el matemático es la visión del reparto, podría aplicarse para nosotros cuando tenemos una forma cuadrada de solucionar problemas de este tipo, de esto, la necesidad que se busquen soluciones gráficas antes de la enseñanza de las operaciones.

De paso en la imagen verde, se hace un recordatorio de cómo realizar sumas con tres números fraccionarios, encontrando un número común para el denominador. de los tres números, un medio además de ser fracción común, también es fracción decimal (con residuo finito), por tanto se puede en dado caso transformar en número decimal, en cambio las otras dos no, ya que su residuo es infinito. 

Anexo un vídeo sobre el mismo tema: