DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA... FORMA BÁSICA DE ENSEÑAR 9

Figura 1

Construcción solucionadora de problema: forma básica 9 es el nombre del décimo capítulo del libro “12 Formas Básicas de Enseñar” escrito por Hans Aebli (1987). Nos remitimos hasta dicho apartado para trabajar dos problemas matemáticos de geometría planteados y retomar algunos conceptos sobre la misma temática; ambas tareas están relacionados, en el segundo problema se encuentra un dato que puede servir para realizar algunos cálculos del primer problema pero claramente establece el autor como una demostración geométrica a la primera trama y un problema de cálculo a la segunda.

Figura 2

En el mismo capítulo explica cómo realizar primero la demostración, al establecer la igualdad y con el dato numérico del segundo planteamiento establecer el área en el segundo problema. De entrada, al leer las tareas, acudo al ejemplo que años anteriores durante la educación secundaria se presentaba sobre el teorema de Pitágoras; el primer choque fue la presentación de las figuras, un triángulo rectángulo clásico y al decir clásico es su base bien definida en el cateto mayor de 4 cm y su cateto menor de 3 cm como se aprecia en la figura.

Figura 3

Figura 4

El presentado por Aebli es un triángulo rectángulo (figura 1) pero su base descansa en la hipotenusa y muestra el cuadrado formado por el cateto menor que posteriormente menciona tiene 6 cm por lado. En el mismo impulso y con los conocimientos previos arrastrados inicié realizando cálculos aritméticos; la primera hipótesis fue, si el cuadrado mide 6, y en el ejemplo que conocía correspondía al cuadrado de 3 por lado, al duplicar dos veces el tres entonces llegaba al 6 establecido en la tarea de Hans y con ello fijé correspondencia si 3 es 6, 4 es 8 y 5 es 10 y ahora faltaba comprobarlos. Las nuevas medidas (tentativas) coincidían con los porcentajes porque el área de cuadrado de la hipotenusa al asignarle una medida de 10 cm por lado su superficie sería también 100 cm² el cuadrado de lado 6 tendría un área de 36 cm² y 64 cm² del segundo cateto que mediría 8 cm por lado.

El nuevo triángulo con las medidas tentativas debería medir 24 cm cuadrados, Aebli dice en su planteamiento que el área del cuadrado es también el área del rectángulo formado en la continuación de la altura tomada de la hipotenusa y continuado en el cuadrado formado en la misma hipotenusa. Si así es, aplicando una lógica, buscando que ambas áreas coincidan (la del cuadrado de 6 x 6 y el rectángulo) siendo 10 cm (tentativamente) la medida de cada lado, la única forma de encontrar un área de 36 cm² es que el rectángulo mida 10 de lado largo x 3.6 cm de lado corto.

Figura 5

El siguiente paso fue encontrar el área del triángulo, prolongación del trapecio rectángulo que se muestra en la figura 6, la finalidad era posteriormente restársela a dicha figura geométrica y comprobar si encontrábamos que efectivamente su área (del rectángulo) fuera 36 cm². 

Figura 6

Este ir y venir permitió encontrar las medidas y aplicar procesos sobre una visión cuadrada tomada desde el primer momento, incluso se encontraron otros procesos, pero al final de lo anterior retomo la trama del problema y veo que en nada se acercaba a la intención de Aebli… era una demostración lo que pedía sin el manejo de algoritmos que posteriormente muestra. Recordar también que hace años en la secundaria nos aplicaron la famosa prueba de los tres minutos donde las ansias de contestar no permitió analizar la tarea y así sucedió ahora por no esperar a leer unos párrafos más. 

Proceso propuesto por Hans Aebli... pág. 246  

Figura 7

1. El triángulo (verde) ADC tiene la misma área que el triángulo ABI... se comprueba viendo las líneas AB (prolongada) y DI que son paralelas lo mismo que la línea AD y la línea roja que parte de I en la figura 7. 

2.  La figura 8 pretende establecer que el triángulo ABI corresponde en área y medidas al triángulo CBE. BI tienen la misma medida que BE, no confundir que los 6 cm corresponden a las alturas de las líneas prolongadas, son en realidad las medidas de los lados del cuadrado ABCD único dato proporcionado por Aebli. AB es igual en longitud que BC, además en ABI hay un ángulo recto entre las líneas ABC lo mismo que hay un ángulo recto entre las líneas CBE mostrados por la raya azul y ambos comparten el ángulo entre las líneas CBI.

Figura 8

Figura 9

3. Con el proceso, Aebli comprueba que el área del triángulo CBE es igual al EBG estableciendo que en ambos el lado BE es igual y la altura es la misma. Igual procedimiento generado en el paso 1. BE es paralela a CF lo mismo que BG y EF. De primer momento no se visualizó lo anterior, esquemáticamente trataba de colocar números y encontrar un resultado que no se pide. La tarea, una demostración geométrica y un cálculo geométrico.

Figura 9

Finalmente se puede establecer que si ambos triángulos (ADC y EBG) tienen la misma área, ABCD y BEFG también se corresponden. Con el único dato podemos decir que efectivamente su área es de 36 cm2 para responder al problema 2 que viene en la primera figura. 

El ejercicio lleva al autor a establecerlo como problema de lagunas... este tipo de problemas nos dice que se caracterizan por presentar puntos en blanco al momento de actuar, intuimos que hay una conexión pero no se sabe cuál es; la cadena de igualdades establecidas permiten llenar ese hueco durante el desarrollo de la tarea. Es difícil entrar al trabajo de demostración con figuras geométricas, con ellas por lo regular en la escuela primaria se plantean más bien problemas aritméticos y eso fue lo que sucedió y les compartí al principio. Ojalá sirva lo aquí trabajado al plantear problemas similares.