DESAFÍO MATEMÁTICO 78... SEXTO GRADO... NÚMEROS FIGURADOS...

El desafío 78 es la culminación de una serie que parte de la lección 76 hasta la presente con sus temas encaminados a la sucesión de números y no cabe duda que es antecedente para el tratamiento de los números poligonales que encierran precisamente a los triangulares, cuadrados o cuadrangulares, pentagonales y hexagonales. La  gama de situaciones didácticas es la riqueza que encierran estos tres desafíos matemáticos que por importancia para las situaciones pre-algebraicas en el siguiente nivel debería ser tratado al menos en unas seis sesiones los tres temas.

 Como breve marco teórico se menciona a J. A. García y A. Martinón quienes publicaron en la revista Educación Matemática (1998) la importancia sobre estos números y su tratamiento en los ámbitos aritmético, visual (geométrico) y algebraico. En los anteriores desafíos se trató de crear situaciones generalizadas para el desarrollo de las series numéricas, en esta ocasión se muestran las sucesiones cumpliendo el primer y segundo ámbito.

Los aspectos didácticos señalados se espera sea una construcción de la interacción de los alumnos como lo marca el enfoque de la educación primaria, y que sea guiado por el docente o en su caso el padre de familia con los ejemplos aquí expuestos y que se tomaron del artículo señalado y de las sugerencias del libro para el maestro.

Para ejemplificar cómo se cumple el ámbito algebraico de los poligonales y que se trabajará en otro niveles como dijimos líneas arriba se muestra la imagen de cómo encontrar un número triangular con una forma generalizada para esta serie de números. De ahí la importancia que estos temas en la educación primaria se desarrollen explotando todas las situaciones didácticas ya que son un antecedente primordial para desarrollar el sentido algebraico.

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DESAFÍO MATEMÁTICO 77 SEXTO GRADO...INCREMENTOS RÁPIDOS... parte 2

La segunda y tercera tarea del desafío 77 continúa  con la elaboración de sucesiones numéricas, la tarea dos inicia su incremento pidiendo contar el numero de lados de las figuras, ya con la práctica se observa que cada lado al insertar una punta se obtienen cuatro lados...la sucesión se da número de lados por 4, así se obtienen las primeras cinco figuras. Aunque ahí se termina el propósito de la lección, se vuelve a mostrar como generalizar para encontrar algún resultado, pro ejemplo se puede pedir el resultado de los lados que tendría la figura 10. 

La última tarea muestra la sucesión de cuadrados, una reafirmación a la primer tarea del desafío, el incremento de manera geométrica tiene como razón el x2, sin más los ejemplos tratan de mostrar la manera de ir un poco hacia implementar fórmulas para tener una estrategia en caso como se dice en el párrafo anterior de buscar un resultado más allá de lo gráfico (sin dejarlo de lado inicialmente). Al final se pide encontrar el área de la figura verde y por ende aplicar la división entre 2 para completar la última sucesión. 

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DESAFÍO MATEMÁTICO 77 SEXTO GRADO... INCREMENTOS RÁPIDOS... SUCESIONES GEOMÉTRICAS

El presente ejercicio, continuación de los desafíos anteriores llevan a ejercitar las sucesiones numéricas de manera geométrica; es decir, el incremento en el orden de los números multiplicados por un mismo patrón o razón. La primera tarea muestra cuatro figuras (triángulos) cuyas áreas van incrementando al doble de su antecesor como se observa en la imagen, su base aumenta al doble lo mismo que su área si nos fijamos en sus triángulos y cuadrados.

Al tratar de encontrar una sucesión por el área de sus triángulos encontramos la siguiente: .5,2,8 y 16 y por el área de los cuadrados sería: 1, 4, 16 y 32. Para encontrar las siguientes sucesiones se pueden encontrar y es lo ideal diferentes soluciones que propongan los alumnos, lo importante es que posteriormente se pueda llegar a una generalización de una fórmula que permita al alumno encontrar el resultado de una sucesión mayor.

Trabajando con la sucesión de las áreas de los cuadrados podemos establecer que su incremento es geométrico y no aritmético dado que su razón constante es una multiplicación como se muestra en la imagen. 

Se podría haber obtenido dividiendo cualquier número por su antecesor, lo que aquí se indica es que si al patrón se encuentra su potencia aplicando el número de orden que se busca menos uno (n-1) se generaliza una forma de llegar al resultado deseado en este caso. Y si es un triángulo dividir entre dos.

Con este tipo de ejercicios el alumno de sexto está encaminándose hacia la utilización de conocimientos pre-algebraicos. Una generalización más común, dejando de lado este desafío, de las sucesiones geométricas  por lo común presentarían los números a partir del 4, en una generalización se podría establecer que si multiplicamos el primer número por la razón y esta su potencia el número en el orden que se busca menos uno.

Debemos aclara que un número elevado a su potencia cero es 1 y por ejemplo si dividimos un número cualquiera de la sucesión por su antecesor su razón será el número cualquiera por el patrón igual a su sucesor: 16/4=4; 64/16= 4... 4x4=16; 64x4=256.

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DESAFÍO MATEMÁTICO SEXTO GRADO... ESTRUCTURAS SECUENCIADAS... parte 2

La segunda parte del desafío nos lleva a crear secuencias numéricas con más complejidad. Para la figura pide saber dicha secuencia de tubos que presenta cada estructura, al contarlas manualmente se obtienen la siguiente serie: (5,13,21 y 29).

Con la estrategia empleada en la primera parte el docente puede plasmar una fórmula que para este caso permita obtener cualquier resultado para estructuras más grandes. El patrón que resulta en la secuencia es +8... (5 (+8), 13 (+8), 21 (+8) 29...). La figura de arriba nos permite establecer una regla para este caso... (patrón x n° de estructura -3) en este caso aplicando a los cuatro casos como se muestra en la figura de abajo se puede ver que aplica para los demás eventos.

Ya se entendió que hay dos secuencias para cada estructura, una en el número de tubos y la otra en el número de vidrios... para los vidrios se observa la progresión con un patrón de +2. es de mejor manejo para el alumno y su regla podría establecerse como se muestra en la imagen de enfrente y después aplicarse a las otras estructuras para comprobar se se puede generalizar. 

En la imagen de abajo se observa que se puede establecer esa generalización partiendo de casos más particulares a uno general... con esta estrategia se puede llegar a contestar las tareas en el presente desafío... 

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DESAFÍO MATEMÁTICO 76... SEXTO GRADO... ESTRUCTURAS SECUENCIADAS... parte 1

El presente desafío matemático de sexto grado inicia una serie de actividades que permitirán a los alumnos apropiarse de estrategias para elaborar secuencias numéricas, activen su razonamiento y descubran los patrones que les permitirán inferir si se da el caso fórmulas para ir del camino aritmético al pre-algebraico.

El ejercicio va encaminado a observar las progresiones aritméticas presentes; los patrones al ir de manera aditiva permiten elaborar la secuencia en los cuadernos sin más elementos que el empleo de números y encontrar las respuestas a las tareas planteadas... en esta ocasión se busca que el conocimiento adquirido sirva como antecedentes para entender las secuencias numéricas que forman los números poligonales cuyo contenido se verán en los siguientes niveles académicos. 

La primera tarea del desafío pide saber cuantos tubos se necesitan para elaborar la estructura 4, sí la estructura 1 tiene 4 tubos y al ir añadiendo un vidrio a cada estructura se observa que hay una secuencia entre cada una de +3. El patrón por tanto es +3; cada estructura nueva añade un vidrio... la estructura 2 necesita 3 tubos más para y la secuencia es 4, 7, 10, 13, 15. Con estos datos podemos empezar a crear algunas formulas que permitan deducir una regla general para este problema; observamos como se muestra en la imagen de fondo amarillo que al multiplicar el patrón por el numero de estructura y se le adiciona +1 obtenemos el resultado deseado. 

Para comprobar si la fórmula funciona hay que aplicarse a otros dos o tres casos y así vamos partiendo de casos particulares a situaciones generales. En esta imagen podemos concluir al aplicarse en 4 casos que si se puede aplicar para resolver la tarea que nos pide conocer el número de tubos que llevaría la estructura 10 y 15. Cabe aclarar que este tipo de ejercicios tiene una variedad de situaciones didácticas que pueden surgir, por ejemplo; para obtener la estructura 4 algún alumnos puede sumar la estructura (1 y 3) y restarle un tubo (4+10)-1... o la estructura 10 sumar dos veces los tubos de la estructura 5 y restarle 1 (16+16)-1... incluso sumar la estructura 5 con la estructura 10 y restar uno: (16+31)-1...46. Nota: el tubo que se resta es el que (imaginariamente) se debe de quitar para ensamblar dos estructuras...

Como se observa, los desafíos cuentan con muchas situaciones didácticas que se pueden explotar y es recomendable que se vaya trabajando en etapas, no terminar las dos páginas en una sesión por esa variedad de estrategias que se pueden presentar y que todo el grupo debiera conocer.

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SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO… MÉTODO DE MULTIPLICACIÓN

En el currículo para educación primaria se trabajan los diferentes sistemas de numeración antiguos para comparar y hacer reflexionar a los niños sobre la bondad del sistema decimal que se emplea actualmente. De manera directa en sus propósitos se establece que el sistema egipcio  al igual que el sistema decimal es de base diez por su empleo de potencias de diez.

Bruce E. Meserve al trabajar el tema nos hace ver la distinción de número y símbolo numérico, atribuyendo al primero que es un concepto abstracto mientras lo segundo es una manera de representar a un número y enfatiza que escribimos símbolos y no se pueden escribir números. En el libro de desafíos matemáticos de quinto grado  que se aplica en las escuelas públicas mexicanas se acerca al tema y uno de los objetivos es hacer entendible las características de uno y otro como el valor posicional de sus símbolos numéricos.

De manera puntual en este trabajo se muestra el método de multiplicación empleado por el autor antes mencionado, se da como las imágenes lo muestran una descripción gráfica de su técnica para la suma y resta sin más comentarios que lo ahí expuesto en la primera y segunda imagen. 

En el método de multiplicación se emplean los símbolos numéricos del sistema decimal sin los símbolos egipcios, lo que se pretende es mostrar ese ingenio para llevar a cabo ese proceso aplicando la duplicación al descubrir que la suma de potencias de dos puede arrojar el resultado deseado.

En los modelos se muestra como a partir de la unidad se va multiplicando el primer factor… después 2, 4, 8, 16… el segundo factor se conserva y se muestra el producto de ambos factores. En la imagen se observa que 1 x 12 es 12; 4 x 12 es 48; 32 x 12 igual a 384... 32 + 4 + 1 = 37 y 384 + 48 + 12 = 444.

En el ejemplo se toman los símbolos numéricos que sumados den el primer número a multiplicar y los resultados de dicha multiplicación se toman y suman con ellos se obtiene el resultado, en la operación 13 x 18 = 234, el 13 se obtiene de 8 + 4 + 1 y los resultados de multiplicarlos por 18 es 144 + 72 + 18 para obtener 234.

Meserve y su colaborador Sobel señalan que los egipcios refinaron su método de duplicación  y añadieron uno de mediación… mediar en un factor, el primero pudiera ser y duplicar el segundo como se muestra y explica en las imágenes, al mediar no toman en cuenta los restos  por ejemplo en la mitad de 23 se toma el 11… su mitad es 5, de 5 la mitad 2 y de 2 el 1.

Al llegar a la unidad se toma como base para detener la duplicación; el segundo número que multiplica al 23 es 34 se inicia la duplicación con 68, 136, 272, deteniéndose en 544 porque se empareja con la unidad de la primera columna… se toman de la segunda columna los números que en la primera columna sean impares, estos se suman y el total es el resultado de la multiplicación 23 x 34. Con el ejemplo de abajo se espera la comprensión del método.

Se rescata este proceso intentando que pueda presentarse a quienes prueban aplicar ya sea en alguna aula, como un método que vale la pena conocer a quienes les llama la atención las matemáticas o se amplié en los contenidos que se manejan en la educación primaria.