DESAFÍO MATEMÁTICO 10, SEXTO GRADO... LA MERCERÍA

En este desafío se puede entender que entra dentro de la categoría de problemas de tipo multiplicativo (isomorfismo de las medidas). Dos dimensiones o medidas se encuentran presente en su historia, por una parte la medida de encaje o listón y la segunda medida de dinero. Es pertinente reconocer que el manejo numérico representando cantidades de dinero y longitud con enteros y fracciones se presta en el ejercicio en cuestión.

La correspondencia entre las medidas se hace de manejo sencillo con el esquema propuesto en el desafío 17 también de sexto grado ya que de entrada al leer la tarea nos señala claramente el valor unitario de cada producto. 

Además la colocación de la incógnita permite sólo emplear multiplicaciones y no combinado con divisiones como lo exigiría en otros planteamientos la colocación de las cantidades y x.

En las consideraciones previas del libro para el docente se hace la propuesta de realizar multiplicaciones mediante descomposiciones, es una estrategia adecuada y lo propuesto aquí es eso, otra simple propuesta (no pedida) que espero al lector le sirva y adecue a otros ejercicios similares.

Podemos describir el proceso en las dos formas; mediante una multiplicación del factor (de manera horizontal)  entre la unidad de medida de longitud (metros) por el valor en pesos de la unidad de medida anterior. Entender como factor pues nos permitiría entender por qué una unidad de medida (A) al operar se transforma en otra unidad de medida (dinero) que se corresponden.

Independientemente de la intención para esos días de clase del profesor de grupo, se puede realizar esa descomposición si además requiere reafirmar procesos distintos de multiplicar, sumar, restar o dividir que se presentan en la trama total de las dos historias o de manera más económica usar la calculadora cuando se ha apropiado del proceso propuesto.

En el texto se quiere entender, y así lo afirma el libro para el docente en el segundo problema o tarea donde pide encontrar cuánto sobrará de los 40 pesos que le dio la mamá a Guadalupe y le indica al docente que le falto 1.80 pesos para su encargo… pero aquí me cuestiono de toda la trama o historia de este desafío, acaso Guadalupe no está en la tienda comprando encaje como se detalla en el primer problema o consigna y después como ya vimos, se lee “también pidió  4.75 m de cinta azul…” entonces algún alumno puede interpretar que quiere comprar los dos productos con los 40 pesos a menos que para el encaje llevara otra cantidad.

Las estrategias que un alumno puede aprender y aplicar en la resolución de problemas no tiene fronteras como las que aquí de manera convencional se muestran, el tener un apartado para problemas de tipo aditivo y ahora estas de tipo multiplicativo se hacen queriendo tener un orden, este ejercicio se resuelve o al menos algunos de sus pasos son salvados mediante el empleo de estrategias propias de los números fraccionarios ya que estamos empleando números decimales finitos en uno de las dos dimensiones de medidas (metros). Pero en fin se espera que sea de utilidad lo aquí trabajado, principalmente sea de apoyo para mis compañeros de escuelas multigrado.

DESAFÍO MATEMÁTICO 17 SEXTO GRADO... ¿CUÁL ES LA DISTANCIA REAL?... PROBLEMAS DE TIPO MULTIPLICATIVO

En los problemas de tipo multiplicativo, la historia o trama que encontramos en cada planteamiento arrojan una relación de cuatro elementos (relación cuaternaria) que se corresponden mutuamente y por tanto clarifican esquemáticamente los datos para encontrar respuesta a la interrogante de cada problema. En esta serie de aportes, se seguirá acudiendo a la teoría de Vergnaud (2003) quien escribió al respecto y a los autores que lo retoman en sus textos e interpretan y enriquecen sobre el contenido de sus ideas.

Por relaciones multiplicativas se entenderá como la ejecución de una multiplicación o división al resolver una situación problemática y enfocada a solucionar la pregunta específica que se plasma en una trama hipotética o real de un desafío donde intervengan datos. La primera forma o relación multiplicativa que aborda es la llamada isomorfismo de las medidas, estos términos sin adentrarnos mucho en su análisis semántico diremos que corresponde a una igualdad de formas o dicho de otra manera a una correspondencia entre dos medidas distintas ya sea en cantidad de un tipo con otro… es una correspondencia perfecta uno a uno que ya se ha visto principalmente en el análisis de tablas de variación proporcional directa.

Se entiende pues que entran en juego cuatro cantidades y dos tipos de medidas, a cada tipo por tanto dos cantidades, en el transcurso de este escrito deducirán lo anterior. Para buscar esa utilidad se pretende enlazarlo con los ejercicios de desafíos matemáticos que se están trabajando actualmente como textos de trabajo en la escuela primaria de México; en esta ocasión se analiza el desafío 17 sexto grado y se aclara que va con la intención de ser un apoyo al docente sabedor que tiene un auxiliar que le muestra cómo afrontar didácticamente dichos trabajos.

Para responder a los planteamientos del ejercicio 17 referente al cálculo de la distancia entre cerros, se pide en las consideraciones previas del docente abordar o analizar el segmento del libro y la distancia que representa, claro está que debe ir directo a medirlo, para efectos de comprensión, con algunos programas en la figura se muestra que representó el segmento con una medida de dos centímetros, por tanto dos centímetros será igual a 20 kilómetro (y un centímetro a 10 kilómetros) como se muestra en una de las tablas, allí se lee en color rojo las cuatro cantidades y los dos tipos de medidas. 

Las cantidades por el tipo de medidas centímetros son 2 y 1.5, el dos representa la medida del segmento y 1.5 la medida entre los cerros El Mirador y La Calavera; las cantidades por el tipo de medida kilómetros son 20 y x, 20 representa la equivalencia del segmento (por cada dos centímetros son 20 kilómetros) y x la cantidad de kilómetros que se deben de buscar parea emitir la respuesta de la distancia real aproximada de kilómetros que hay entre esos dos cerros.

Lo anterior corresponde a la consigna del inciso a (ver primera imagen), con el entendimiento que 2 cm equivale a 20 km, se ejecuta la medición como se ejemplifica en la figura de enfrente. La distancia (1.5 cm) es el tercer elemento, su acomodo debe ser bien comprendido por el alumno; así se cumple que haya dos tipos de medida distintos, su correspondencia que llaman biyectiva, término matemático de correspondencia algo no fácil de digerir en educación primaria por lo que no se ahondará y se representa en el esquema anterior.

Se sugiere que esta relación multiplicativa, que es la más sencilla de abordar, se ejecute mediante la aplicación de un esquema (tabla) fácil de manejar para un niño de primaria, en el esquema se debe ver claro los tres elementos que nos llevan al resultado esperado. La lección 17 permite explorar el desafío y partir hacia el resultado conociendo el valor unitario de la medida que muestra la incógnita y el empleo de una multiplicación.

En el uso de un esquema se muestra que mediante una multiplicación paralela vertical y otra paralela horizontal se encuentra el resultado. En el caso del esquema de arriba (multiplicación horizontal) nos muestra un operador (x 10) que nos lleva de una medida a otra aunque sean (las medidas) de naturaleza distinta sin importar que representen distancia. Este operador representa una función y nos lleva a entender el paso de una categoría (en este caso centímetros) a otra categoría (kilómetros)

Cuando se hace una operación multiplicativa como se muestra en la imagen de enfrente, de manera vertical, también se puede encontrar la respuesta. Conociendo el valor unitario se puede encontrar el operador que nos lleve a la medida que encontramos en el dibujo entre los dos cerros, se dejan ambas medidas y sus respectivos operadores (1.5 y .75), a este proceso donde se pasa de una medida a otra medida de la misma categoría se conoce como como operadores sin dimensión o escalares y es imprescindible que no se confundan ambos procesos.

Sólo se muestra otro ejemplo pues se considera entendido el proceso. En la consigna d se pide encontrar la distancia en kilómetros entre los cerros Los Gallos y San Juan, la figura nos muestra que hay una distancia de 4.5 cm, con el esquema se puede encontrar la respuesta como se aprecia en la figura siguiente donde se comparan los dos procesos ya estudiados.

Esta primera forma es la más sencilla pero primordial para entender posteriores relaciones multiplicativa que se irán incorporando conforme se observen otros desafíos, por lo pronto este antecedente es importante para resolver el desafío siguiente (el número 18). 

DESAFÍO MATEMÁTICO 22... ¿QUÉ DEBO HACER?... SEGUNDO GRADO

¿Qué debo hacer?, así se titula el desafío matemático 22 para segundo grado de primaria en México. Qué se debe hacer en estos casos para que el alumno se apropie del conocimiento y lo siga empleando en situaciones distintas para su aprendizaje o su aplicación académica y práctica. Atendiendo las indicaciones o consideraciones previas que hace el libro para el docente respecto al presente ejercicio, claramente nos señala que los tres primeros problemas son de complemento y el cuarto de diferencia, es decir, para el primero se necesita ya sea añadir o quitar para igualar una cantidad; la segunda que está enfocada en este caso también a igualar, se hace en un contexto donde se comparan dos conjuntos o elementos distintos (duraznos y manzanos), mientras que en el primero el elemento es el mismo… (Niños en un trenecito; casillas en un juego y amigos en una fiesta).

En la revista Suma de junio de 2001, Bruno, Martinón y Velázquez nos explican cómo el planteamiento de un problema o historia aditiva simple (llamada así por intervenir una suma o resta de dos números) es una situación que conlleva diversas situaciones ya sea de números, medidas en ciertos lapsos, cambios y comparaciones que confrontándola con los esquemas de G. Vergnaud, encontramos que al intervenir en los planteamientos el uso de números positivos y negativos, se encuentran insertados a partir de la segunda categoría, ya que en la primera sólo se usan números que representan medida.

Acudimos a este manejo teórico para analizar los problemas planteados en el presente desafío matemático. A saber manejan cuatro clases de historias (situaciones): comparación, igualación, cambio y cambio-comparación. Si nos atenemos a lo que tratan los autores anteriormente mencionados, el primer problema se encuentra enunciado en un contexto verbal de comparación, por qué, porque los datos se relacionan directamente mediante una diferencia; en un esquema común  A + B = C, A será estado menor, B será la diferencia y C corresponderá al estado mayor que asociaremos con total.

En la propuesta de Vergnaud se podría emplear un esquema correspondiente a la primera categoría, dado que habla de dos grupos, un grupo que ya está en el tren y otro que está debajo del tren (medidas en ese lapso), se podría controvertir si nos atenemos a que la incógnita se maneja en sentido hacia lo relativo al manifestar que “los que pueden subir aún”, si se va al fondo y sin atrevernos a querer enunciar algo distinto, este tipo de problemas están en una frontera entre la primera y segunda categoría ya que al alumno si no encuentra una explicación favorable podríamos manejar el aspecto textual (historia aditiva de cambio) diciendo que en un tren había 18 pasajeros y al final viaja con 25 pasajeros para preguntarle la cantidad que subió después de llenarse este vehículo de transporte. Recordando que los aspectos teóricos se separan para su comprensión pero en la realidad su frontera o tránsito entre uno y otro está marcado por sus palabras claves en la enunciación.

Sin querer centrarnos mucho en la redacción, Bruno y sus colaboradores advierten sobre las inconsistencias que se pueden presentar en una redacción, en el presente trabajo no se hablará sobre eso, cabe reconocer que en un principio no nos podemos percatar de ellas, pero la lectura de algún compañero nos puede llevar a detectarlas y corregirlas. Convencionalmente se encamina a la aplicación de una resta (25 – 18), pero es también factible una suma (18 + 7). La pregunta o historia que se va construyendo nos lleva a pensar en aumentar el dato, de allí que se proponga en las consideraciones previas hacer un complemento. Decir cuántos pueden subir todavía, mentalmente dan la sensación de agregar y para llevar hacia la comprensión que es posible una resta, en la historia y esquema que se presente es necesario dar claves (palabras) para eso.

La pregunta sobre el juego de dados de este ejercicio plantea la incógnita del mismo modo, cuántos puntos se necesitan, cuántos faltan para llegar a…, posteriormente a saber cuáles operaciones pueden servir para encontrar la respuesta aunque se plantea realmente cuáles no ayudan a resolver el problema, pero bueno me atengo a pensar que estuvo bien planeado hacerle comprender al niño que necesita fijarse en lo que se pregunta, aunque la lección en cuestión si un docente sigue la cronología de su presentación, esta lección está para aplicarse en los primeros meses del ciclo escolar, el niño (al menos el que vive en una región serrana como es el contexto del estado de Durango) apenas está aprendiendo a leer, a diferencia de un alumno de una ciudad o escuela más favorecida que posiblemente ya haya llegado leyendo. Volviendo al juego de dados, el ideal es que el niño resuelva que faltan 6 puntos para poder trasladarse al número 15 a partir de la casilla 9, sin embargo el juego de dados es azaroso y el saber que necesita una combinación para 6 puntos, no significa que salga dicho resultado al lanzarlos, lo anterior es un ejemplo de esa historia problemática.

El problema c, nos traslada a un contexto de una situación inicial que cambiaría hacia una final en un espacio imaginario de tiempo, sabedores que el grupo de invitados será de 25 niños y que ya hay un subgrupo de 12, se precisa conocer el número de niños faltantes, la incógnita se sitúa según su redacción en ese dato y no en el total. La sensación de un espacio de tiempo permitiría al docente didácticamente ver qué camino seguir, la complementación de dos posibles subgrupos (A + ? = C) o el traslado de un espacio de tiempo entre la asistencia inicial a la fiesta, su posible asistencia final en este caso los 25 amigos y la posible llegada en el trascurso de la fiesta de los amigos faltantes… toda una historia que debe imaginar para comprender lo que se espera responda un alumno.

Efectivamente en el último problema se necesita conocer la diferencia entre dos entes distintos, duraznos y manzanos, de igualación diría Alicia Bruno o de comparación-relación como se enuncia en la tercera categoría de Vergnaud. Con esto es menester entender la compleja situación a salvar, no difícil, pero tampoco fácil y simple para que el éxito en este tipo de situaciones problemáticas sea permanente y se continúe reafirmando a lo largo de toda la escolaridad de una persona.

Agregar lo que maneja Bruno, todo problema es una historia donde la forma de redacción es una parte a cuidar y tener la habilidad de reformular es primordial para salir de ciertos estancamientos donde por un descuido nos podamos meter, de ahí la importancia que los mismos compañeros nos hagan esos señalamientos (problemas o situaciones mal planteadas o confusas) y poderlos revisar para corregir.

Enseñar y aprender lógica... Inferencia por tanteo: la tabla de Elí

La resolución de problemas lógico planteados como acertijos es una buena estrategia para que los niños (y los profesores) formulen inferencias sobre situaciones que se les planteen cuidando como dice Elí de Gortari que no sean adivinanzas o charadas. En los acertijos se parte de analizar los datos para ver si se vinculan o no mediante el establecimiento de hipótesis; al contrastarlas se puede entender si son contradictorias o no y acercarse así a aceptar o rechazarlas.

Llamaremos a esto inferencias por tanteo, hay bastantes autores que las trabajan pero en esta ocasión se acudirá a los ejemplos planteados por de Gortari en su libro Ejercicio y problemas de Lógica. Por qué acertijos; en la escuela primaria se han trabajado esporádicamente para llenar huecos de tiempo o cambiar rutinas muchas veces sin un propósito específico. Retomando al autor, podemos parafrasear que la importancia radica que el proceso de resolución es la manera simplificada o sencilla de entender la investigación científica.

Establecer hipótesis, comprobarlas o rechazarlas estableciendo su consistencia mediante la prueba de univocidad, es decir, son congruentes con los propósitos del problema planteado. Por qué esa analogía entre resolución de un acertijo y la actividad científica; es precisamente que su solución no se reduce a procesos fijos, aunque haya algunas sugerencias o reglas para afrontarlos.

En los acertijos se componen de un planteamiento general y el establecimiento de algunos datos sueltos o hechos hipotéticos que relacionan a los elementos involucrados. Copiaré uno ya elaborado en el libro referido líneas arriba (de paso establecer la propiedad intelectual de Elí de Gortari) y el seguimiento que hizo para didácticamente explicarnos su método que consistió en la reducción de datos mediante el análisis sistemático.

Para ello, empleó un cuadro con el número de columnas y filas pertinentes a los datos y elementos como el mostrado en este tema.

Problema: González, López, Martínez y Rodríguez son cuatro artistas creadores de gran talento. Además, de ellos sabemos también lo siguiente:

1. Que uno es bailarín, otro es pintor, otro es cantante y el otro es pintor; sin que el orden en que expresamos sus oficios corresponda, necesariamente, al orden en que nos hemos referido a los artistas.

2. Que González y Martínez estuvieron presentes en el Palacio de Bellas Artes, la noche en que el cantante participó en la obra Aída.

3. Que López y el escritor han posado para el pintor.

4. Que el escritor después de haber publicado una biografía de Rodríguez, está escribiendo ahora un ensayo sobre González.

5. Que González nunca ha oído hablar de Martínez.

Veamos el proceso que se siguió y se explica en el cuadro de arriba, aclarando que se inicia con la enumeración con el 2, porque representan a partir de allí cómo está establecido en los datos (también escritos arriba):

a). Si González y Martínez estuvieron en la ópera, entonces quedan con opción a ser cantantes o López o Rodríguez.

b). López ni es pintor ni es escritor entonces o es bailarín o es cantante.

c). Rodríguez y González no son escritores porque están escribiendo sobre ellos.

d). La primera personalidad se descubre al quedar como única opción en la columna de escritor el renglón de Martínez: MARTÍNEZ ES ESCRITOR.

e). Al ser Martínez escritor, entonces se eliminan sus opciones de ser pintor o bailarín.

f) Ni González ni Martínez se conocen entonces Gonzalez no es pintor debido a que Martínez sí conoce al pintor porque posó para él.

g). La segunda personalidad que se conoce por quedar esa opción es: GONZÁLEZ ES EL BAILARÍN… por eliminación.

h). Al ser González el bailarín, entonces se eliminan las opciones y ni López ni Rodríguez podrían ser bailarines. (VER TERCERA Y CUARTA INFERENCIA).

i). Se puede establecer la tercera personalidad pues queda como única opción en el renglón de López la profesión de cantante. Aunque queda en la columna de pintor como única opción a Rodríguez… pero vayamos despacio: LÓPEZ ES CANTANTE.

j). Como se estableció que López es cantante, se elimina esa opción para Rodríguez y se le deja por eliminación la de pintor, aunque ya se haya adelantado en el inciso anterior: RODRÍGUEZ ES PINTOR.

CONCLUSIÓN: González es bailarín; López es cantante; Martínez es escritor y Rodríguez es pintor.

Ejercicios similares se pueden trabajar, recomendables para los grados superiores de primaria y para secundaria. Se aceptan comentarios.  

Los problemas de tipo aditivo... transformación y comparación de estados relativos... QUINTA Y SEXTA CATEGORÍA

La quinta y sexta categoría es el tema que se tratará en este escrito, se manejan así ya que más adelante el lector verá cómo esquemáticamente se usan en el primer caso la transformación de dos número relativos y en el segundo la composición de números relativos. El manejo de este tipo de números requiere su identificación como número o negativo o positivo en cada óvalo de esquema propuesto construido por G. Vergnaud que son trabajados  o aludidos tanto por María Luisa Ruiz Higueras y Juan Miguel Belmonte Gómez en el texto La Didáctica de las Matemáticas (2006) y Nunes y Bryant  en el Texto Las matemáticas y su Aplicación  (2002).

Los tipos de problemas que se plantean, generarán múltiples situaciones dependiendo de la ubicación de la interrogante, además de la situación positiva o negativa tanto en los datos planteados como en la misma respuesta. Entonces situaciones e invariantes estarán presentes aquí; qué situaciones se están aludiendo, la primera de transformación en la quinta categoría donde un estado relativo da lugar a otro estado relativo y de composición u ordenación entre dos estados relativos en otro en el caso de la sexta categoría. Podrá el lector encontrar similitudes con las primeras categorías, pero a de preverse que aquí se manejan números o positivos o negativos.

Se debe entender también que entran en juego lo que Vergnaud llama las invariantes operatorias, es decir, las operaciones del pensamiento que ejecuta el alumno y cristaliza manual, gráfica o en papel. El esquema, en este caso a lo largo del blog donde se han trabajado las categorías, se han presentado precisamente para que el docente las comprenda y didácticamente (a modo de sugerencia) trabaje con sus alumnos como una organización invariante para resolver problemas.

Entremos entonces al análisis de algunos problemas en sus respectivas categorías.

1. Quinta categoría: su similitud con la segunda categoría nos harán inferir que hay 6 formas de problematizar, pero en realidad el número aumenta dependiendo el carácter positivo o negativo como enuncia Belmonte.

Situación: Para sembrar Abundio consiguió varias veces dinero con José, haciendo cuentas se fijó que le debía $ 700, como fue un mal año acordó pagarle $ 500, ¿Cuánto dinero le sigue debiendo a José?

El esquema para este problema es el verde, muestra un resultado negativo al responder la pregunta, ha de entenderse (y en esto entra la comprensión lectora) que nos estamos refiriendo a la acción que se está ejerciendo en Abundio. Se anota -700 en el estado relativo inicial porque de entrada para sembrar y cosechar tuvo que endeudarse con 700 pesos, al tener dinero en sus manos (que no se dice cuánto) optó o acordó regresarle 500 pesos a José por lo que en el esquema se representa positivamente, de esta manera no entra en contradicción con la cantidad relativa que adeuda inicialmente y que reconoce que aún seguirá debiendo 200 pesos (-200) a José.

Aprovechando los datos para entenderse alguna de las múltiples variantes posibles a presentarse, podemos redactar la situación de la siguiente manera: Para sembrar Abundio consiguió varias veces dinero con José, haciendo cuentas se fijó que le debía $ 700, como fue un mal año acordó le regresa una cantidad de dinero acuerdan que seguirá debiendo 200 pesos, ¿Cuánto dinero le entregó Abundio a José?

Esperando se entienda la intención, se pide que observen el esquema de color anaranjado y analicen la misma distribución de cantidades y reconozcan en la transformación de los dos estados relativos la incógnita.

Finalmente y con la misma situación y datos se ejemplifica para entender el planteamiento de la incógnita en el estado relativo uno o inicial. Para sembrar Abundio consiguió varias veces dinero con José, haciendo cuentas se fijó que aún con los 500 pesos que le debía, seguía habiendo un adeudo de 200 pesos, ¿Cuál es entonces la deuda original que hubo entre Abundio y José?

NOTA: Se puede dar clic en el dibujo o gráfico, los llevará a un enlace donde está elaborado bajo formato Excel, cuenta con esquemas para las seis categoría que puede emplear para sus problemas que localice en los libros de texto para alumnos de primaria, las celdas donde puede introducir datos están abiertas a excepción del resto del documento para que no alteren las funciones que deseo preservar. Si se encuentra una inconsistencia favor de comentarla y si sabe la forma de corregirla agradecería me indicara cómo.

2. Sexta categoría: Podría decirse que es similar a la tercera categoría, pero se advierte que en este esquema los números que entran en juego son o positivos o negativos como en la categoría anterior, mientras que la tercera sólo en la relación se daba el caso de señalar que el número era positivo o negativo.

Situación: Ana compra a crédito el mandado del diario en la tienda de don Polo, al final de la semana se da cuenta que ya le debe 450 pesos, pero a su vez don Polo le debe 500 pesos a Ana porque le cortó el pelo y le lavó su ropa, Ana entonces tiene dinero a su favor, ¿Qué cantidad le debe a Ana el tendero?

Al igual que en la categoría anterior, se ha de analizar que el protagonista inicial es Ana y sobre ella versan los datos aunque entre otro personaje, la pregunta se establece según el planteamiento en el estado relativo que van a componer las dos situaciones presentadas (debe (-450) pero también le deben (+500)) mostradas en el relativo 1 y 2 respectivamente por eso se concluye que tiene 50 pesos a favor, ver esquema rosa.

Si la pregunta se plantea para la situación relativa 1 (esquema naranja), podría entre otras formas enunciarse así: Ana compra a crédito el mandado del diario en la tienda de don Polo, al final de la semana se da cuenta que  debe pagar, pero  se acuerda que a su vez don Polo le debe 500 pesos porque le cortó el pelo y le lavó su ropa, Ana entonces tiene dinero a su favor y le dice al tendero que son 50 pesos, ¿Qué cantidad le debía entonces Ana al tendero por el mandado del diario?

Y para entender porque la pregunta se puede trasladar al relativo 2 (esquema verde), entonces la redacción a la situación sería así: Ana compra a crédito el mandado del diario en la tienda de don Polo, al final de la semana se da cuenta que ya le debe 450 pesos, cuando va a pagar, don Polo le entrega 50 pesos a Ana porque le cortó el pelo y le lavó su ropa, ¿Cuál es la cantidad le debía a Ana el tendero por sus servicios?

Esperando cumplir sus expectativas respecto al tema, se ponen a su disposición los esquemas en el enlace respectivo.

DESAFÍO MATEMÁTICO 13... ¿CÓMO QUEDÓ?... PRIMER GRADO

 Dentro de los desafíos matemáticos donde se implica el uso de la suma y la resta, se trae el presente ejercicio donde operan los aspectos teóricos propuesto en este mismo blog para el uso de las operaciones de tipo aditivo. Un nuevo recordatorio y respetando la propuesta de enmarcar o señalar los números que representan medidas dentro de los cuadros y los números manejados de manera relativa ya que pueden ser positivos o negativos a diferencia de los primeros. 

En las imágenes originales previamente digitalizadas, se agregan otras para representar gráficamente los problemas. En la consigna 1, y en sus tres preguntas se manifiesta claramente la segunda categoría previamente tratada y para la cual se agrega el su link por si se considera dar un repaso. Se agrega que en realidad en las tres preguntas que componen dicha consigna se da una sucesión de transformaciones para que el alumno pueda ejecutar satisfactoriamente el desafío en esa primera página.

La primera pregunta como se observa en la figura, es claramente una transformación positiva, se ahí que el alumno pueda ejecutar una operación convencional (7+8=?), su incógnita se localiza en el resultado propio de la "cuenta". Recordando que se trata de transformación porque el contexto evoca un devenir, un espacio de tiempo entre un inicio (tenía) un durante (compró) y un después o resultado (tiene). El análisis más a detalle es que si no logra encontrar correctamente la respuesta planteada, entonces no podrá continuar con las siguientes preguntas por su ilación de resultados. Aquí en realidad estamos entrando al terreno de la cuarta categoría como se ilustra en el problema dos de la segunda consigna en este mismo desafío, aclarando que en dicha categoría se contextualiza mediante transformaciones, usando números relativos. Si gusta echar un vistazo, se agrega link.

Pero pasemos a la segunda pregunta, se tiene que seguir operando a partir del resultado obtenido en la pregunta número uno. La incógnita según el análisis de la pregunta sigue ubicándose en la segunda medida y la transformación (lo que se rompió) se maneja en sentido negativo y trabajándose convencionalmente con una resta (15-5 =?). 

Mientras se siga trabajando esta segunda categoría y sea similar los planteamientos dado el caso, no hay mucho problema, el problema ateniéndonos a una redundancia sería que se cambiara la redacción y en los famosos exámenes o ejercicios posteriores se trasladara la incógnita o a la primera medida o a la segunda, aquí si meteríamos en aprietos a los alumnos, si es el caso de que un docente esté tentado en hacer planteamientos así, primero debe trabajarlos de antemano. De hecho se debe tener bastante tiento, porque considero que este tipo de preguntas se deberían de ejecutar después de haber el alumno dominado problemas de la primera categoría, (ver link). 

Cierra la tercera pregunta donde la complicación que pueda presentarse es precisamente el lugar que presenta la incógnita. El alumno además de seguir trasladando el resultado de las transformaciones anteriores y entenderlo como una medida inicial, ahora debe analizar que la medida final es necesariamente siete, entonces el número relativo que permitió dicha transformación  es  precisamente la respuesta buscada, la operación convencional (10-?=7) para un niño de seis años no es "tan convencional", aunque el docente logre concluir que la operación 10-7=? nos da la respuesta. Si el lector ha venido siguiendo las entradas anteriores, se dará cuenta que la segunda categoría presenta retos cognitivos al alumno y si ha decidido a trabajar esto en primer grado, es bueno prever que el trabajo debe ser arduo y constante. 

La consiga dos de este desafío, nos presenta un reto donde entra en juego los aspectos teóricos de la primera categoría. En el planteamiento se observa claramente las medidas hipotéticas presentadas, el todo es la unión de las partes de los equipos enunciados, acomodando en su respectivo sitio se entiende claramente la operación que se requiere (7+5=?). Se debe tener presente que la incógnita puede ubicarse en una de las partes del todo y esto lleva a que se pueda ejecutar o una suma o una resta, en esta ocasión no es así y ateniéndose a la comprensión del planteamiento y pregunta, la dificultad para un alumno sería poca, siempre y cuando se use material concreto o al menos gráfico donde el niño pueda manipular o señalar.  

La segunda pregunta (en esta segunda consigna), nos traslada nuevamente hacia una sucesión de transformaciones. Podría como se menciono antes ubicarla en la cuarta categoría, pero al iniciar con un dato-medida, se lleva la serie de cambios a través de entender ese paso de tiempo a partir de las canicas que tenía Pedrito al empezar a jugar hasta que dejó de hacerlo. 

La intención es llevar al lector a ver que hay un fondo teórico que no se toca y que podría explicar algunos de los fracasos al enfrenar al alumno a este tipo de problemas de razonamiento, en esta lectura cuando hablamos de categorías y por si decidió no ver los links, se aclara que se estuvo aludiendo a la teoría de G. Vergnaud y cómo analiza los problemas de tipo aditivo.

DESAFÍO MATEMÁTICO 6... VAMOS A COMPLETAR... SEXTO GRADO

En la lección o desafío matemático 6 de sexto grado, se plantean problemas de suma y resta con fracciones. En un inicio se presenta la primera tarea, el alumno debe trabajar en equipo y encontrar dos incógnitas, la primera aclarar que parte (representado como fracción) fue el aporte del padre de dos hermanos y la segunda establecer la cantidad que aportó cada uno de los tres elementos para comprar un juego de mesa.

En las figuras siguientes se muestra a modo de sugerencia las operaciones para aclarar el problema. al ser tres los elementos involucrados, es claro que falta saber lo que aporta ese tercer miembro. En este ejercicio, se establece a manera de diagnóstico si en el grado anterior los alumnos manejan los procesos para sumar y restar con números fraccionarios, si son capaces de entender o manejar fracciones mixtas, propias e impropias, pero sobre todo establecer que para sumar (o restar) deben convertir los numeradores diferentes a una misma representación. 

En el primer caso, de entrada se manejan denominadores que a simple vista no son múltiplos entre sí. Un rápido recordatorio nos permite saber que se presentan tres casos, en el primero cuando los denominadores son iguales, un segundo cuando no son iguales pero se puede encontrar su correspondencia al ser múltiplos entre sí, es decir, cuando se manejan tercios y novenos o medios y octavos; los tercios se pueden convertir a novenos multiplicando tanto el denominador como el denominador por tres y los medios se pueden convertir a octavos multiplicando sus dígitos por cuatro, y un tercer caso en que sus denominadores no son iguales y se tiene que multiplicar entre ambos y para encontrar la conversión de sus numeradores se multiplica cruzado o por su contrario, es decir numerador de la primera fracción por denominador de la segunda como es el caso que se tuvo que realizar para saber que parte habían aportado los hermanos como muestra la figura de enfrente. 

Baste la explicación de las siguientes tarjetas para encontrar respuesta tanto a la primera como a la segunda interrogante, se muestran cómo los denominadores se convierten a treintavos y sus numeradores con la operación respectiva cambia. Además la manera de encontrar un quinto y un sexto de 90, en este caso para la segunda pregunta de esta primera pregunta. 

En la tarjeta de enfrente se muestra el mismo proceso, pero mostrando cómo efectuando el mismo proceso se encuentra el mismo resultado para saber que parte de dinero entregó cada elemento. Para comprobar si los resultados atribuidos al papá dan lo mismo, se necesita realizar las operaciones respectivas.

La pregunta dos de la primera consigna es interesante, cambia el contexto a la primera, ahora se busca establecer qué peso equilibraría la balanza. Entra en juego el conocimiento sobre el uso de fracciones mixtas, la cantidad representada en peso mayor es necesaria convertirla a fracción impropia para poder realizar la resta respectiva o la suma con incógnita en una de sus medidas. Valgan los ejemplos de las imágenes para entender la sugerencia de su solución, de entrada canónicamente se sugiere después de convertir la fracción mixta 1 2/3

a impropia, o sea a 5/3, su resta de 3/5. Sin embargo se puede notar que incluso 2/3 sigue siendo mayor que 5/3 y se puede encontrar también un camino por ahí. Sirva pues a la imaginación del lector lo que muestran ambas figuras incrustadas en este párrafo y sus procesos para encontrar la respuesta a la pregunta de qué peso se pondría en el platillo de la izquierda para equilibrar los pesos. 

La consigna dos, en la página siguiente nos lleva sin ningún planteamiento a un problema hipotético razonar las operaciones para encontrar sus respectivos faltantes. Puede el lector ver que se plantea para su solución entender el esquema de la operación tanto como una suma y una  resta para encontrar su solución. 

Se sigue igual que en los problemas anteriores buscando igualar sus denominadores, en la segunda pregunta de la consigna dos se muestra la operación respectiva, lo mismo para las siguientes preguntas. La pregunta tres nos señala cómo igualar dos denominadores múltiplos entre sí, o dicho de modo llano que si se puede saber cuántas veces cabe el denominador representado por el número más pequeño en el denominador representado en el numero más grande y esas veces que "cabe" es el número por el que se multiplican  tanto numerador como denominador para igualar ambos denominadores y realizar la operación respectiva como se muestra en la figura del lado. No pasa lo mismo con la última operación donde ambos denominadores se tienen que multiplicar entre sí para obtener un denominador igual. Es esencial que desde este momento de inicio de ciclo se establezca lo que el grupo sabe en cuanto a la suma y resta de fracciones y el entendimiento de los problemas que se plantean; es un ejercicio que por su complejidad no debería ejecutarse en una sola sesión. En las escuelas multigrado puede ser trabajado para quinto y sexto grado y en determinado momento ajustando la complejidad hasta con cuarto grado en las sesiones pertinentes para su entendimiento.

DESAFÍO MATEMATICO 21... ¿A CUÁNTO CORRESPONDE?... QUINTO GRADO

 El desafío matemático 21 está diseñado para la realización de reparto con número fraccionario. El análisis de cada consigna sin embargo merece atención, en el problema uno se plantea el reparto de un queso, siendo una cantidad manejable, creo no debe de representar mucha dificultad. En la teoría entra el juego el concepto de fracción como cociente, es decir, se plantea ¿qué se va a repartir? un queso, la representación se coloca en el numerador del número fraccionario, ¿entre cuantos se va a repartir? Originalmente entre tres niños, por eso el resultado sería 1/3 para cada niño. 

Pero la consigna continúa y se dice que un niño de su parte le regala a su hermana la mitad y en ese sentido viene planteada la pregunta que se espera sea respondida para comprobar que el alumno entendió todo este proceso (y lo realizó... claro) no necesariamente como aquí se describe. Enseguida entonces de debe de hacer el reparto de un tercio entre dos, la figura nos muestra cómo, más económicamente sería decir que la mitad de un número fraccionario es la multiplicación de su denominador por el número de elementos que se van a repartir el queso, pero es necesario que el alumno entienda todo ese proceso y que posteriormente entre sus estrategias encuentre el camino más corto para sus respuestas.

La pregunta dos viene planteada la venta de una casa, el valor sólo es parte del contexto de la pregunta, pero de poco sirve si no se plantean interrogantes respecto a él. Lo que interesa realmente es saber que parte de ese dinero (aunque no la cantidad) representada en número fraccionario corresponde a cada institución a la que se donará el hipotético dinero. en el esquema correspondiente se muestra la forma de llegar a la solución, recordar que no es la única y que cada docente tiene sus propias estrategias al respecto. Como se notará, el resto o se a 2/3 se reparte entre 4 elementos, en este caso instituciones, si se multiplicara el 4 por el 3 que es el denominador se obtendría 12 y conservando el 2 del numerador sería 2/12 que equivale a 1/6, insisto esto sería la forma económica pero no a la que llegan todos los alumnos, de allí a realizar estrategias variadas para hacer comprender al niño.

Si observamos la pregunta tres, la consigna maneja tres momentos en los que se emplear un tiempo indefinido ya que no indica ni su comienzo ni su fin, puede ser de una semana a un mes, un año o varios. Lo importante es que se entienda hay tres momentos que se pueden representar de manera abstracta, a diferencia del problema anterior que se manejan elementos abstractos (una persona y cuatro instituciones) también susceptibles de abstraerse. A saber la consigna indica que para el primer momento se empleará la mitad del tiempo, por tanto, para los otros dos momentos se usará la otra mitad, y una mitad dividida entre dos momentos, siguiendo con la estrategia de multiplicar numerador con elementos y conservando el numerador obtenemos 1/4. Cada momento restante tendrá un cuarto de duración, la pregunta solicita saber sólo uno de esos momentos, en este caso el tiempo dedicado al estudio de la cultura.

Habrá notado el lector que se puede aprovechar para hacer otra serie de cuestionamientos en las consignas anteriores como: qué fracción de tiempo se ocupó Bety en estudiar el hebreo y viajar; o del dinero que se quedó la persona, lo reparte entre tres sobrino, que fracción le correspondería a cada uno de los sobrinos o qué cantidad de dinero le daría a cada uno... bueno eso depende del tratamiento que se realice al tema.

                                                                                                                                                               

Para el problema del festival del pueblo se hace una sugerencia similar a las anteriores para sus solución, se observan tres rubros en los que se reparte cierta cantidad de dinero, que en realidad no importa cuánto sea... de los tres rubros, uno, el de bebidas y otros se subdivide entre cuatro rubros, en ellos se plantea el trabajo, si es un tercio lo que ahora se va a dividir entre cuatro y se multiplica directamente 3 x 4, se obtiene 12, conservando el numerador de un tercio, el resultado es 1/12, como dos rubros son bebidas (aquí debe tener cuidado el alumno de entender que las aguas y los refrescos entran en bebida), y eso es la pregunta, entonces 2/12 sería la respuesta. Los esquemas espero sean auxiliares para este ejercicio, sin leer el libro para el docente se hace las siguientes aportaciones, pero en sus reuniones pueden comentar las diferentes maneras en cómo transitó este ejercicio con sus alumnos. Espero sea de utilidad y realicen comentarios al respecto.