viernes, 20 de julio de 2012

LA FRACCIÓN COMO COCIENTE


Las fracciones o números fraccionarios son aquellos que se representan comúnmente con dos números divididos por una línea como en el ejemplo siguiente: ¼, ½ ó ¾ y representan el cociente de dos números enteros; es decir, representa la división de dos números y en sí es ya una solución, al número anotado arriba se le llama numerador y al anotado en la parte de abajo denominador.

Cuando se analiza las partes de la división, al resultado que se busca se le llama cociente, entonces aquí entenderemos que cociente y resultado son sinónimos.

En este trabajo se pretende que el alumno entienda que la utilización de números fraccionarios puede ser ventajosa para resolver problemas donde se involucre el reparto.

Cuando las respuestas que obtienen los alumnos en la resolución de problemas con fracciones no son acertadas, se consideran entonces éstas de dos tipos: epistemológicas y didácticas, las primeras consisten en aplicar propiedades de los números naturales al contestar y las segundas cuando se trabajan sólo una unidad y ahí se enseñan las fracciones.

En la fracción como cociente, se involucran dos enteros o se puede entender como dos conjuntos distintos que representan dos enteros. Para que llegue a eso el alumno debe practicar gráficamente hasta apropiarse del concepto que consiste en deducir eso… que la fracción ya escrita es un resultado.

En el siguiente ejemplo se puede iniciar en el manejo de dicho concepto que será a su vez estrategia de solución de problemas.

El día de hoy Ana recibe la visita de 4 niños, y cuenta con 3 barras de chocolate como las que se muestran en las imágenes, ¿qué cantidad le tocará a cada uno sin que sobre nada y se repartan la misma cantidad?

Pasos…
1.   Entender qué entero o conjunto de elementos se quiere repartir, en este caso los chocolates serán el primer objeto de atención, como se van a repartir entre cuatro niños, se dividen en cuartos.

2.   Ahora se señala la cantidad que le toca de cada barra por cada niño, observa que a cada uno le tocan dos pedazos que representan un cuarto de barra.

3.  Entonces, ahora sí se debe entender que a un niño le toca un cuarto de la primera barra, un cuarto de la segunda barra y un cuarto de la tercera barra. En total si los junta serían tres cuartos de una barra como se muestra en la ilustración de abajo.

4.   Para llegar a esa conclusión, primero se debe comprender que a cada niño le tocó un cuarto en cada barra, al comprobar que serían de él tres cuartos de barra, puede de un chocolate tomar los tres cuartos juntos cuya cantidad es igual, la forma de repartirse en sí sabiendo lo que les toca es ya otro problema que no debe afectar al resultado descubierto que es: a cada niño le corresponden ¾ (tres cuartos) de barra.

Comprendido lo anterior, si ya te apropiaste del concepto de cociente igual a resultado, podrás entender que si se piensa en qué se va a repartir y se coloca en el lugar del numerador; y también ya se tiene identificado entre qué o quién se va a repartir y se coloca en el lugar del denominador, ya resolviste el problema… en eso consiste la estrategia, apropiarte del concepto y emplearlo para resolver problemas, veamos el esquema de abajo.

Numerador                 Qué se reparte             3 chocolates                3
----------------     -----------------------------      -----------------            ------
Denominador         Entre quién se reparte         4 niños                      4         

Veamos cómo aplica en el siguiente problema: 

Si en una fiesta hay 8 personas y para comer se adquirieron 14 pizzas, ¿qué cantidad le toca a cada persona de manera que todos coman lo mismo?
Numerador                 Qué se reparte             14 pizzas                    14
----------------    -------------------------------    --------------------          ------
Denominador          Entre quién se reparte        8 personas                  8         

En el caso anterior, a diferencia del primero les toca a cada uno 14/8 que es más de una pizza, pero ya saben el resultado que es catorce octavos, si se quiere simplificar entonces tendría que hacer lo siguiente: 14/8 = 7/4 = 1 ¾, cada persona se comió una pizza y tres cuartos de otra. Veamos el siguiente ejemplo:

Si en la mesa hay 64 manzanas y se quieren empaquetar en 6 canastas, ¿cuántas manzanas le corresponderían a cada canasta de forma que todo se reparta igual?  

Numerador                 Qué se reparte                  64 manzanas          64
-----------------   ------------------------------     --------------------------   ------
Denominador         Entre quién se reparte              6 canastas             6      

64/6 = 32/3 = 10 2/3.

La división nos arrojaría que son 10 manzanas por canasta y sobran cuatro que al repartirlas sería 4/6 para cada una, que es lo mismo 2/3, así que el resultado es: en cada cesta habrá 10 manzanas más 2/3 de una.

El concepto tiene que ir desde la comprensión gráfica hasta la correcta colocación de los números en la fracción, posteriormente cuando se entiende que el problema está resuelto pero se tiene que ser más específico como en los ejemplos posteriores, se acude a otra estrategia que es la simplificación de la fracción.

Las variaciones que se les puede dar posteriormente a los planteamientos pueden ser como el siguiente: 

Del caso 1

El día de hoy Ana recibe la visita de 4 niños, y cuenta con 3 barras de chocolate como las que se muestran en las imágenes, ¿qué cantidad le tocará a uno sin que sobre nada? 

Sí los últimos dos niños son hermanos y se quieren llevar lo que les corresponde a casa, ¿qué cantidad le tendrían que dar al papá de ellos para después repartírselas por igual? 

O, si llegara otro niño, ¿Cuál sería la cantidad a repartir equitativamente?

Ya entran en función más formas de responder en el segundo y tercer planteamiento como:

A cada niño le toca ¾, para dos serian... ¾ más ¾ = 6/4 = 3/2 = 1 ½.
Si llega otro niño entonces:

                                 Qué se reparte             3 chocolates                3
                           -------------------------------   ----------------             ------ 
                            Entre quién se reparte        5 niños                       5         

Y ese es el resultado: a cada uno le toca 3/5 de chocolate.

Espero se haya cumplido el propósito de emplear a la fracción como cociente como estrategia para solucionar problemas 

En los comentarios hacen la siguiente pregunta de Celi García... nos dice que es una adivinanza.


¿Cuántas manzanas tienes, si cuando las reparten entre dos niños les toca cuatro manzanas más a cada uno que cuando las repartes entre cuatro niños, y si las repartes entre cuatro niños les toca dos manzanas más a cada niño que cuando las reparte en entre ocho niños?


Anexo la figura esperando contestar a Celi García su inquietud y se deja abierta la pregunta para otras respuestas o comentarios sobre la respuesta dada.


Luis Enrique Camarena escribe y plantea lo siguiente, si hay 6 manzanas y las vas a repartir entre ocho niños, cuál sería el resultado en fracción.

Diría que 6/8... de entrada ese ya es resultado empleando la fracción como cociente, se ha explicado que en el numerador de la fracción se coloca lo que se vaya a repartir y en el denominador entre los que se reparta o recipiente donde se guardará ese reparto. Simplificando 6/8 es igual a 3/4... a cada niño le tocan seis octavos de manzana... recordar que no sería una manzana completa... es lo mismo decir que les toca tres cuartos de manzana a cada niño.

Pero... como entender eso, como decirle a un niño que con un acomodo está resuelto el problema, tal vez piense -un niño- que se aplica para todos los planteamientos que involucran quebrados, entender que no es así, que los números fraccionarios tienen varios significados y el concepto de fracción como cociente es uno de ellos y se aplican en problemas de reparto similares al anterior.

Se anexa una figura para hacer explícito gráficamente lo anterior.


Anexo preguntas de algunos lectores, son respecto al reparto que debería hacerse de pizzas. Se ha explicado en el contenido del tema que el resultado de un planteamiento es el "acomodo" en el numero fraccionario de la siguiente manera: en el denominador lo que se va a repartir y en el numerador entre quienes se va a repartir algo... pero de la misma manera se ha comentado que es una forma última de apropiarse del resultado, con los niños se debe trabajar de manera que hagan los repartos ya sea en dibujos o en material concreto que represente lo que se diga en la tarea a ejecutar.

Va entonces las preguntas planteadas y las respuesta que se obtendrían, esperando sean las esperadas por quienes las formularon y gracias por escribir. debajo se da respuesta primero a las inquietudes de Gerardo y después a las de Antonela.




























Martina Álvarez realiza la siguiente pregunta, ¿y si tengo que repartir 11 chocolates entre cinco chicos, cómo sería?... La respuesta es hacer el acomodo como se plantea líneas arriba, pero lo importante primero es comprobar la respuesta, se sigue sugiriendo la manipulación con elementos concretos, en este caso no sé si sea para una situación didáctica a presentar en un aula o es parte de una tarea. Por lo pronto se entrega chocolates (barras) a quien se le vaya a presentar el desafío y pedirle reparta (las barras) de manera equitativa a cada niño, al hacer el reparto se observará que tocan dos barras por niño y sobra una barra. 




El alumno o equipo de alumnos debe llegar a ese entendido por sí solos, no dar la respuesta, no desesperarse. Al estar plenamente convencidos que a cada niño le tocan dos barras de chocolate, se plantea la tarea de repartir de manera equitativa la barra sobrante y se sigue recomendando que salga de sus hipótesis la respuesta... comparando cada forma de enunciar se debe llegar a un consenso para emitir la respuesta de equipo más adecuada.

En el trascurso de varios ejercicios, se debe empezar a motivar respuestas donde observen el acomodo de los números y el conjunto que representa, en este caso hay dos conjuntos, el de chocolates y el de niños... recordar que la fracción como cociente se emplea en este tipo de tareas (repartos) y el numerador captará al conjunto que se va a repartir (los chocolates), mientras que el denominador el conjunto (los niños) entre los que se va a repartir el anterior grupo.

Dentro de las situaciones que han ocurrido en este tema se suscitan planteamientos interesantes, uno de ellos es el que realiza Anny Flores, De Anny desconozco si es persona adulta o en una niña o jovencita. Me hace una pregunta de cómo repartir una pizza entre seis niños... le respondo que según el acomodo y pensando (yo) que quiere saber el resultado le explico que le toca a cada uno 1/6.

Inmediatamente me responde que sí... pero le sobran dos. Por algunos momentos dudo y realizo el cuestionamiento del porqué le sobran dos, no veo como suceda eso. Sin embargo veo que esta personita que amablemente lee el tema tiene razón y su duda tiene mucha lógica... esa lógica infiero puede partir del hecho en que normalmente en los establecimientos donde venden pizzas, ésta ya viene partida para su consumo regularmente en ocho piezas por eso si Anny está realizando lo anterior es correcto que le sobren dos rebanadas.



Anny, la situación es comprender que vas a repartir todo el producto, en este caso una pizza, y debes cortarla en seis partes iguales... mira el ejemplo en la imagen. Entra el entendimiento que son repartos exhaustivos, es decir, repartir el producto sin que sobre nada. Agradeciendo hayas realizado el planteamiento y enriquecer con una situación que puede ocurrir en la lógica de las personas.
 

En respuesta al comentario:



En la sección de preguntas se realizan las siguientes inquietudes, de parte de René Montes y otra persona desconocida, tarde pero les dejo la respuesta en la imagen de abajo...






78 comentarios:

  1. ¿me podría dar una referencia bibliográfica sobre este tema por favor?
    Está excelente su información y sus actividades pero necesito información de al menos un libro para mi tarea. Gracias

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    1. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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    2. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA: Davila V. Martha (1992) Las fracciones: un tema difícil de enseñar y difícil de aprender En V taller de actualización para profesores de educación primaria. Matemáticas III. Gobierno del estado de Chiapas, Febrero - Diciembre pp. 4-19

      Es uno de los referentes que acudí, espero te sirva y aún este en tiempo para tu trabajo... un saludo.

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    3. ... aún esté.. sirva como fe de errata

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  2. Alguien sabe como puedo dividir 18tortas en 8 mesa con numero equitativa me podrían ayudar o explicarme porfa

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    1. 18/8 = 2 2/8 2 tortas más 2/8 ó 1/4 de torta

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    2. Dime como repartes 1/4 de torta entre 8 mesas para que sea equitativo el resultado? La cuenta esta bien pero no tiene sentido.

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  3. Alguien sabe como puedo dividir 18tortas en 8 mesa con numero equitativa me podrían ayudar o explicarme porfa

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  4. A un niño le dan 2/6 de pay y luego le dan otro de 3/3 de pay ¿Que cantidad tendra?

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  5. repartir 14 pizza entre 5 amigos

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    1. 14/5 : A 2+4/5 PORQUE 5 ENCAJA 2 VECES EN CATORCE(NÚMERO ENTERO), SOBRAN CUATRO PARA 14 (NUMERADOR) Y EL MISMO DENOMINADOR(5).:V alv

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  6. Me gustaría un procedimiento como tal para llegar a la respuesta de esre: Se repartieron 17 alfajores en partes iguales entre 5 chicos, de manera tal que no sobró nada. ¿Qué cantidad le correspondió a cada uno?

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  7. Estoy tratando de entender.para explicarle a mi hijo que va a 4grado.tengo dos: el dueño de casa pidió 6pizzas iguales para compartir.si todos comieron la misma cantidad¿será cierto que a cada uno le tocó 3/4 de pizza?...ocho amigos se juntaron a comer si pidieran 2pizzas iguales y todos comieran la misma cantidad! ¿cuanta pizza comería cada uno?

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  8. Es necesario saber el número de personas que comerían las 6 pizzas... para que hubieran comido 3/4 c/u, tendría que repartirse entre 8 personas
    pizzas 6/8 personas... con dibujos le puede explicar a su hijo que cada persona sin problemas se come media pizza; sobran dos pizzas, se parten en cuartos cada una y se le da un pedazo de 1/4 a cada niño 1/2 + 1/4 igual 3/4

    pizzas 2/8 amigos... de entrada entender que cada uno se come un octavo si se parte una pizza... se parte la otra y se come cada uno de nuevo un octavo 1/8 + 1/8 2/8 come cada uno o 1/4

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  9. En el caso de tener 5 paquetes de galletas con 10 cada uno dividido entre 10 niños. Cual seria el resultado en fracción ?

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  10. En el caso de tener 4 paquetes de gallestas sin explicar la cantidad que contiene cada paquete y lo tienes que dividir entre 7 niños cual seria la fracción?

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  11. Me podrían decir como repartir 12 refrescos entre 20 niños

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    1. 12/20 = 6/10 = 3/5... De refresco... Me pregunto si no ha sido entendida la conceptualización de la fracción como cociente... Agradezco lean el blog.

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  12. Me podrían decir si tengo 5 pizza para repartir en 13 personas k fracción corresponde a cada uno

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  13. Y0 S3 T0D0 Y N0 H4Y N4D4 QU3 PR3GUNT4R...XD :V.

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  14. Si tengo 15 pankes y 6 personas cuanto le tocaría

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  15. Si tengo 9 mandarinas y repartirlas en 15 niños. Cuánto les tocaría?

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  16. Si una persona compra 2 3/6 de barra de chocolate y las quiere repartir en 7 trozos.¿cuales son esos 7 trozos?
    ¿Como se le vendería la misma compra 2 3/6 con el menor numero de trozos?¿cuantos trozos serian?¿Que trozos son?

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  17. Hola quisiera saber cuantos niños se ocupan para que repartir 4/12 de pastel

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  18. Como puedo explicar esto compre 20 chocolates y repartimos entre mis amigos ¿ qué fraccion de chocolate me qda??

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  19. Tengo 12 manzanas y le toca 1/3 a cada hijo ¿cuantas manzanas le toca a cada hijo?

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  20. Juan tiene 5 chocolates y los va repartir entre 8 niños que fracción le toca a cada uno. Podrían ayudarme

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  21. 5/8 sería la respuesta, cada chocolate se divide en ocho partes iguales y se entrega cinco partes a cada niño.... Suponiendo que son chocolates que se puedan dividir sin dificultad

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  22. Si tengo 12 manzanas y se las tengo que repartir a 3 niños ¿cuanto les toca a cada niño?

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  23. Hola una ayuda como lo explico a mi hija .hay 4 estudiantes que quieren repartir 6 candy bars cuanto le tica a cada uno .porfavor me ayudan con este ejercicio

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  24. Primero reconocer en el problema qué se quiere repartir (cuatro barras de chocolate). Ya sea en dibujo o barras reales... En este caso si se puede entregar una barra a cada niño (se comieron c/u un entero. Sobraron dos barras... Partir por la mitad cada barra de las sobrantes y darle una a cada niño...
    Se comen 1 y 1/2 (un entero y un medio)

    Se comen 6/4 entre cuatro...
    El resultado es 6/4 = 3/2 = 1, 1/2

    Si se fija lo que se va a repartir 6
    -
    Entre quien se va a repartir. 4

    Se forma 6/4 ya esa es respuesta... Cada niño come 6/4 de chocolate.

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  25. mi mama compro 5 chocolates y los va a repartir entre 6 niños. ¿que fraccion de chocolate les toca a cada uno? ¿es mayor o menor que un chocolate?

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    1. Con el procedimiento es 5/6... Menos de un chocolate a cada niño.

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  26. Con el procedimiento sugerido para la fracción como reparto (cociente) toca 5/6 de chocolate a cada niño, y es menor que un chocolate.

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  27. 3 chocolates y 5 chicos, si lo partimos a todos primero a la mitad y una mitad la reparto en cinco partes. Cómo sería poner una fracción de ese problema?

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  28. Tengo 6 refrescos para repartir entre 5 niños cuanto refresco le toca a cada uno??

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  29. Rebeca preparó 3 tortas, las cortó en 8 tajadas cada una y vendió 23 porciones. Qué porción no comió, representaló en fracción.

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  30. ana tiene 4 naranjas, si las va a repartir entre sus 4 amigos y ella de manera equitativa. ¿que cantidad de naranjas le toca a cada una?

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  31. Hola mi pregunta es.repartir forma equitativa 25 globos en 4 niños ?cuánto globos reciben cada uno ? ?sobra alguno? Gracias

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  32. Se desean repartir 25 pizzas entre 4 mesas, en forma equitativa y sin que sobre nada..cuántas pizzas le tocaría a cada mesa ???

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  33. Si tengo 3 chocolates y lo reparto en 5 chicoscomo seria la fraccion?

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  34. 4amigos se reparten 3 barras de cereales cuanto le queda a cada uno me lo pueden mandar dibujado

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  35. Como puedo dividir 2 naranjas entre 20 personas

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  36. Tienes un pay de manzana y lo repartes entre 12 amigos Cuanto les toca a cada uno

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  37. Cómo represento en fracción 3 entre 7

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  38. Si tengo 4 dulces y los reparto en 6 niños ¿cuantos dulces le tocara a cada niño?

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  39. Tengo 8 chocolates para repartir entre 6 amigoa.sin que sobre nada.cuantos chocolated le dará a cada amigo?

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  40. tengo 6 chocolates para repartir en 3 personas¿cuánto le toca a cada uno?en fracción

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  41. Como hallar el cociente de una fracción de división 3÷1/5?

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  42. Tengo 26 chocolates y 26 amigo reparto 1/6 del chocolates, con cuanto chocolate me quedo? Quien me ayuda con este ejercicio

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  43. Como reparto con fracion..12 sandwiichs en 9 personas partes iguales

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  44. Carmen compró 2 barras grandes
    de chocolate y las va a repartir
    entre ella y sus dos hermanos
    ¿Qué fracción del total de
    chocolate le tocará a cada uno?
    Ayudaaa

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  45. Cuantos flanes tienen que comprar para 5 personas si cada uno tiene que tomar 3/5

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  46. Hola me podria ayudar con este problema.Angelica preparo un pay y lo partio en 8 pedazos y ahora lo quiere repartir entre sus 6 familiares ,que fraccion le toca a cada uno.

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  47. el maestro Giovanni entregó 4 hojas de rotafolio a los 7 equipos formados en el salón de clases si los equipos son de 6 estudiantes cómo trabajarán los alumnos

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  48. Hola me podrían ayudar con este problema por favor.
    Se compraron 4 pizzas y se quiere repartir entre 6 personas cuanto le tocara a cada uno?

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  49. Me podrian apoyar con este ejemplo por favor, si tengo una barra de chocolate dividida en 5 parted y son 2 niños cuabtas les tocarian? Yo entiendo que son 2.5 pero como la represento en fracciones

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  50. Si tengo 2 barras de amaranto y las boy a repartir entre 3 niños q fracción le corresponde a cada uno

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  51. Ana tiene en la canasta 1/3 de pera que compro, cuanto peras compro ?

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  52. Para regalar Marcos tiene cinco barras de chocolate quiere repartirlas en partes iguales entre sus tres amigos ¿Cuánto le toca a cada uno?

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  53. el dirigible Schwaben realizo en total una trayectoria de 150 000 km, mientras que el dirigible graf zeppelin II recorrio 1 690 000 km. ¿Cuantas orbitas de 40 000 km recorrio cada uno de estos dirigibles?

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  54. como reparto 17 bombones a 7 personas pls ayudaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

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  55. Alguien sabe cómo divido una barra de chocolate entre 4 niños

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  56. Me pueden ayudar si tengo cuatro niños y tengo cuatro galletas en cuántas partes les toca

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  57. María recibe la visita de 6 niños, y cuenta con 20 barras de chocolate ¿qué cantidad le tocará a uno sin que sobre nada? 

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  58. Si tengo 29 chocolates para repartir en 6 chicos, aparte de la respuesta 4 5/6, de que otra forma se puede repartir?

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  59. Ayuda.. Tengo 5 niños y tengo 3 pizza, cuantas porcionese toca acada uno???

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