DESAFÍO MATEMÁTICO N° 8... EL EQUIPO DE CAMINATA... SEXTO GRADO

Un interesante ejercicio nos presenta el libro de desafíos matemáticos para sexto grado de educación primaria, nos muestra una tabla para ser llenada según la consigna. Nos indica que el circuito es de 4 kilómetros... entonces una vuelta va a ser igual a 4 km.

Como ya está dado el primer dato, se procede a anotar debajo del número 1 en la tabla el número 4 que es la distancia recorrida por Rosa; conociendo lo anterior, entonces dos vueltas (4 + 4) serian lo mismo a 8 km, que es la distancia que recorrió Juan; Alma tiene registrado 5 vueltas, si en la tabla observamos que 2 vueltas es igual 8 km, otras dos vueltas completaríamos 16 km y 1 vuelta esta marcada con 4 km serían las 5 vueltas y el recorrido de 20 km; finalmente, si 1 vuelta es igual a 4 km, media vuelta, que es el recorrido de Pedro serían 2 km.

Hasta este momento con esas sencillas inferencias se puede establecer dichos resultados, para los siguientes deben de ser igualmente útiles los datos ya conocidos, por ejemplo, si 1/2 de circuito equivale a 2 kilómetros, entonces 1/4 de circuito más que es otro kilómetro completaría un recorrido de 3/4 de circuito, así sabemos que Víctor recorre 3 kilómetros, la misma distancia que Irma, 3/4 = 0.75.

Hasta el momento, se ha tratado de encontrar respuesta con los datos que van surgiendo, siendo así la estrategia, para resolver la distancia que recorrió Adriana, primero entendemos que el número decimal .25 es equivalente a la fracción 1/4; al haber establecido que 1/4 de recorrido corresponde a 1 kilómetro... implica que 1 vuelta (4 k) y 0.25 de vuelta (1 k) nos arroja 5 kilómetros, lo que alcanzó a caminar Adriana. Para despejar lo que caminó Eric, debemos recurrir a entender que si el circuito ya lo tenemos establecido en cuartos como la figura de arriba y para cada cuarto de circuito, equivale a 1 kilómetro, podemos entender que la mitad de 1/4 es 1/8... cada octavo representaría por tanto 1/2 kilómetro de distancia. Eric da 2 vueltas y en la tabla observamos que Juan da 2 vueltas igual a 8 kilómetros, ahora nos apoyamos en la figura del circuito abajo y observamos que 7/8 equivalen en distancia a 3.5 kilómetros, sumados a los 8 kilómetros de 2 vueltas es un total de 11.5 k.

Para encontrar solución a los recorridos de los siguientes niños, se debe recurrir a otras estrategias, por ejemplo para ver cuánto recorrió Silvio se propone a través de un operador, que consiste en multiplicar la fracción 4/5 entre la distancia del circuito, tal como se observa en la figura de enfrente, el primer paso es multiplicar el entero (5) por el numerador de la fracción (4) y el resultado que fue 16 entre el denominador de la fracción (5), el resultado de la división correspondería a la distancia que recorrió el niño.

Dejamos para el final a Luis y María, al resolver la distancia que caminó Luis, se resuelve la de María ya que ella camino el doble. Nos dice que el niño caminó 1.3 del circuito, para despejar el uno sabemos que una vuelta es igual a 4 k, ahora se busca establecer que distancia es 0.3, con operador multiplicativo, se debe trasformar a fracción y esta sería 3/10 o ir directamente a dividir 4 entre 10 y multiplicar el cociente tres veces para saber cuánto es 0.3; la cuestión es que cualquier camino debe ser válido y es el alumno al final el que debe analizar cómo le conviene trabajar. Ya establecido que Luis recorrió 5.2 kilómetros, el doble de la distancia sería lo que habría recorrido María como se observa en la tabla.

Un buen desafío tanto para el maestro como alumnos encierra este ejercicio, el alumno debe tener ciertos conocimientos previos y el maestro ser capaz de despejar las dudas que los niños tengan.
  

DESAFÍOS MATEMÁTICOS 32... EL IVA... SEXTO GRADO

Se encuentra en el libro de desafíos matemáticos de sexto grado una lección muy interesante, la marcada con el número 32, se observa en la tarea que se pide encontrar el precio del iva (impuesto al valor agregado) a ciertos productos. La actividad se remite a establecer una serie de pasos para encontrar la incógnita que se plantea, además introduce el uso de la calculadora para auxiliar en la búsqueda de la solución.

La imagen 1, donde se pretendió sugerir una forma de razonamiento para el problema, está de la manera siguiente: se analizan los datos o cantidades, para ello se elabora una tabla donde se organizan dichos datos, en la primera columna se establece que es para las cantidades de dinero y la segunda para los porcentajes. La pregunta 1, nos señala que una refacción vale 240 pesos, entonces esa cantidad se anota en la primera columna, la segunda columna ya tiene establecidos los números 100, 16 y 116; al alumno se debe explicar que la cantidad total del producto es un 100% y se entiende que es sin iva, el 16 establece precisamente el iva y el 116 la suma del producto ya con iva.

La figura 2 es más explícita, una primera sugerencia es que mediante la conocida regla de tres se busque la respuesta, tres datos conocidos mediante primero la multiplicación de los productos cruzados y el resultado entre el dato que se encuentra en el mismo nivel o enfrente... en este caso 116 X 240 es igual a 27840 y lo anterior dividido entre 100 es 278.40, ya se despeja la incógnita y recuerda que puedes emplear la calculadora, la imágenes son ilustrativas para entender el proceso... pero si lo que buscas es que aprenda a encontrar el iva que es el 16% y después se lo sume a la cantidad inicial o precio de la herramienta es el mismo proceso sólo que ahora tienes dos incógnitas, la primera cuánto es el 16% de 240 y la segunda, cuánto es la suma del precio, 240 y el iva para poder responder la pregunta planteada: ¿Cuál es el precio de la refacción con IVA?

Entonces, se multiplica 16 por 240, su resultado es 3840, ahora esta cantidad se divide entre 100 y el resultado es 38.40 (primera incógnita), sabiendo que la herramienta vale 240 y sumando el iva 38.40 nos da 278.40 (segunda incógnita) que es la cantidad que responde a la pregunta y que ya habíamos encontrado en el primer proceso.

Como nos indica en las instrucciones que se puede auxiliar de la calculadora, se puede ir directo a buscar el resultado con la siguiente secuencia oprimiendo las teclas 2,4,0,+,1,6,%,=,enter.

La segunda actividad cuenta con la incógnita distinta a la primera tarea, aquí el alumno debe entender que cuando se le plantea una tarea o enfrenta una situación en un comercio donde se le dice que el producto que compra tiene el iva incluido, debe entender que está observando el precio con el 116 por ciento .

La incógnita se traslada como se ve en la imagen de enfrente y la secuencia es 100 por 415.28 que da 41528, se divide entre 116 y se obtiene 358 que responde a la pregunta planteada, como en la actividad anterior se puede comprobar pero el resultado sería el mismo.

Por qué aquí no se puede comprobar con la calculadora restar a 415.28 el 16%... porque la calculadora tomaría dicha cantidad como un cien por ciento y nos daría un resultado diferente, recordar que es un 116% y no un 100%. Pero ya sabedores de que el precio sin iva es 358, comprobar (en la calculadora) que oprimiendo la secuencia de teclas 3,5,8,+,1,6,%,enter...  se llega al resultado.

¿EN DÓNDE QUEDAN LAS FRACCIONES Y LOS DECIMALES? Y ¿DONDE EMPIEZA?... LECCIÓN 13 DE SEXTO GRADO, DESAFÍO 25 SEXTO GRADO

En este ejercicio de sexto grado del libro de matemáticas se pretende representar fracciones comunes y decimales en la recta numérica. sin embargo las rectas que se representan, cuentan con diferentes medidas y requiere que se trabaje para ubicar correctamente el número según el punto que se pide ubicar. Añado en noviembre de 2015 tareas del desafío 25 denominado ¿Dónde empieza? también de sexto grado, la primera lección corresponde al anterior libro para sexto grado en matemáticas y la segunda al texto actual de desafíos; entre los lectores piden a manera de sugerencias añada el tema y lo anexo al final esperando sea lo que esperaba el solicitante.

Los conocimientos previos piden que se convierta los números fraccionarios a decimales. 

La forma que puede emplear es la división del numerador entre el denominador en cada caso. la consigna después de convertir a número decimal, es ordenarlos de mayor a menor.

2/3=.66, 2/9=.22, 1/5=.2, 1/7=.14, 1/11=.09

Para localizar los puntos en la recta numérica como se pide en la figura 2, una primer estrategia sería dividir aproximadamente entre tres la primera línea, así se ubica 1/10 para las líneas 1 y 2.

En la línea dos se usa la misma estrategia, dividir aproximadamente entre tres la parte que va de 7/10 al entero, al ubicar 8/10 se resuelve ya que es equivalente a 4/5. 

Con la tercera línea un primer paso es colocar el punto medio entre 0 y 4/15, con eso sabemos que obviamente allí se localiza 2/15 y enseguida colocar un punto medio entre 2/15 y 4/15, ese punto representa a 3/15... 3/15 es una cantidad equivalente a 1/5, si un quinto es equivalente a 2/10, entonces el punto medio entre 3/15 ó 1/5 corresponde a 1/10; así se resuelve la primera tarea... localizar 0.1 y la localización de 4/5 se logra duplicando aproximadamente la distancia de 4/15 dos veces... nos lleva lo anterior a ubicar el punto 12/15, todo está ejemplificado en la figura de arriba. 12/15 es equivalente a 4/5.

Recordar que un número fraccionario puede hacerse equivalente de diversa formas, la cuestión es jugar con los mismos números para que encuentre las relaciones que encierran. 

La tarea que pide localizar 0.1 y 0.7 en la recta numérica, se puede mediante el siguiente proceso a manera de sugerencia, en la primera recta se observa que los números dados son 0.5 y 2.5; se debe entender que entre dichas cantidades terminan en el dígito 5, entonces implica que se encuentra entre ellos .5 (primera cantidad de la recta) más .5 igual a 1, más .5 igual a 1.5, más .5 llega a 2.0 y finalmente más .5 da 2.5 (segunda cantidad dada en la recta). Ya establecido lo anterior, se divide aproximadamente entre 4 para colocar las cantidades como se ve en la figura. 

Se divide el segmento (0.5 y 1)  entre cinco para poder establecer el punto 0.7 y de la misma manera se establece un segmento aproximado similar para ubicar donde partiría la recta o mejor dicho donde se ubica el cero y después hacer otra división del segmento 0 al 0.5 entre cinco para ubicar el punto 0.1. 

En la recta dos se cuenta con las cantidades 0.25 y 1.25, se observa que es un entero dicha distancia, se procede de manera igual a la recta uno (dividir entre cuatro), entender que dichos puntos (remarcados en color blanco) corresponde a los puntos 0.5, 0.75 y 1.0; de ellos se puede proceder a encontrar las medidas que se piden.

Con la recta tres se realiza algo similar, dividir entre cinco, así se ubica el punto 0.1, trazar enseguida una distancia de dos puntos con las medidas aproximadas ya establecidas para encontrar el punto 0.7 y proceder a terminar esta tarea.

Se anexa el resto de dicha lección, tómese a manera de sugerencia. Cuando se menciona en el texto que se marquen distancias aproximadas, como se está trabajando en un formato digital, no se tiene la oportunidad de emplear una regla graduada para establecer correctamente los puntos, pero el alumno sí tiene esa opción. 

El desafío matemático 25 plantea tres tareas y pide se realicen en equipos, al igual que este anterior ejercicio solicita la ubicación de algunos puntos dados en la recta numérica. La característica es que vienen algunos puntos establecidos y es donde el alumno debe centrarse en la longitud que debe tener cada medida.

En las imágenes añadidas se observa una regla graduada, el programa donde se trabaja me permite modificarla, pero la intención es que vea el alumno que la ubicación de las unidades puede variar. 

Es común querer iniciar o establecer el punto cero al principio de la recta numérica pero el conflicto es que los puntos ya establecidos no permitirían lo anterior y se espera en la discusión que los alumnos vean la opción de colocarlos tomando no como base el cero sino alguno de los puntos dados.

En la primera tarea obliga a que el punto cero este cerca del punto .25, otra situación que entra en juego son los conocimientos previos respecto a las igualdades de números decimales y fraccionarios... en un primer momento se manejan sólo decimales que se repiten en la tercera tarea, pero en la segunda tarea el planteamiento maneja fracciones.

Las imágenes muestran a forma de sugerencia una forma de solución que puede usarse, pero al momento de entender que se pueden establecer diversas longitudes a las unidades y emplee los conocimiento de equivalencia entre decimales y fracciones que se da en los desafíos anteriores modificará positivamente la forma de razonar estos problemas.

LA INFORMACIÓN EN LOS PORCENTAJES... LECCIÓN 10 DE SEXTO GRADO

La lección 10 del libro de matemáticas de sexto grado busca que el alumno mediante diversos procedimientos calcule el porcentaje de cantidades. Al principio parece un ejercicio sencillo, pero al estarlo abordando se puede dar cuenta de la riqueza que encierra para resolver las tareas allí planteadas.

El ejercicio plantea una situación hipotética de préstamos. El alumno con los conocimientos previos podrá darse una ideas de cuánto dinero se debe de pagar en diversos casos.

En la figura dos que es en este caso la parte baja de la hoja número 39 del libro, nos muestra una tabla donde se tendrá que mostrar estrategias con los datos que obviamente deberá extraer de la figura uno que corresponde a la parte superior en la misma página.

Sabiendo que el interés mensual es del 4% o como lo dice el cartelón "paga sólo $4 por cada $100 al mes", el primer renglón de la tabla se complementa anotando precisamente el número cuatro como se observa en la figura dos. 

Ese mismo dato nos auxilia para encontrar el interés a la cantidad 200, si para 100 se pagan 4 pesos, entonces otros 4 pesos completan el interés de 200, 8 pesos sería ese interés.

Ya tenemos dos renglones resueltos, eso permite que sumando dos veces los intereses de 200 que es 8 + 8 = 16 pesos más 4 pesos de los intereses de 100 pesos da total de 20 pesos como lo muestra la imagen. Con dicha estrategia, se puede resolver el resto ya que sumando los datos conocidos se logra encontrar el interés para el resto de las cantidades. En el penúltimo y último renglón de la tabla se debe tener cuidado, se entiende que son 4 pesos de interés por 100 pesos y por 25 sería 1, por 50 son 2 de interés que ya se habían obtenido en el renglón nueve al calcular el interés que se debe de pagar por 150... 4 por 100... 2 por 50...

La lección 10 continúa en la página 40 y en ella encontramos que se pide entender el proceso para otorgar el 10% a una cantidad. El ejemplo inicia nos dice que Luis vende un sarape en 100 pesos, el descuento es 10 pesos que precisamente es el 10% de 100, este planteamiento se debe aclarar muy bien para que el alumno no tenga dudas en las siguientes tareas, para contestar lo que se debe anotar en los recuadros de Ana y Javier, se debe entender que se debe dividir entre 10 el donde hay precio, así para Javier el 10% de 80 son 8 pesos y se puede calcular sin complicación, lo mismo para Ana, el 10% de 140 son 14 y el mismo proceso se usa en la venta de aretes que hace Luis. Pero para la venta de aretes de Ana y Javier se proporciona la cantidad a descontar, sabiendo que es el 10 por ciento en este caso se multiplica la cantidad por 10 y así se sabe que el precio inicial es 60 pesos. Los precios rebajados en dichos casos se obtienen restando al precio la cantidad a descontar, donde se complica para el alumno es cuando se da el precio a rebajar y se tiene que encontrar el precio y descuento, para ello se propone en la figura de arriba dos opciones que es la conocida regla de tres simple o la búsqueda de equivalencia entre dos números anotados como fracción (que no la es, en este caso, es simplemente estrategia para encontrar una solución).

Finalmente la última tabla de la lección nos indica que se encuentre el descuento a un mismo artículo, si ya indica que 13 pesos es el 10%, entonces tomando lo realizado en la tabla anterior 13 por 10 da 130 que es la cantidad total. Se comprueba con los datos que se encuentran en el segundo renglón de la figura 4, al restarle 15.60 a 130.00 pesos resulta 114.40.

Comprobado lo anterior se puede recurrir a la estrategia aplicada en la primera tabla, con los datos conocidos buscar respuestas para el llenado de la tabla. Siendo cierto que 15.60 es el 12% de descuento, entonces la mitad sería el 6%, así encontramos que 7.80 es la respuesta y enseguida se resta a 130.00 el resultado es 122.20.

Con la suma del descuento del renglón 1 y 2... 7.80 y 15.60 se encuentra respuesta al tercer renglón... 6% más 12% da el 18% y... 23.40 que restados a 130 nos da el resultado escrito en el cuadro. para encontrar el 30% sólo se recuerda que el dato conocido es que 13 pesos es el 10%, entonces tres veces esa cantidad nos arroja el 30% igual a 39.00.

Con la observación e imaginación se resuelve el ejercicio, los datos allí están, espero sus comentarios... como agregado a manera de comentario, este ejercicio es el mismo que viene en el libro de desafíos matemáticos para sexto grado denominado Prestamos con intereses, compárenlo... 

Los problemas de tipo aditivo… transformación de medidas, segunda categoría

La segunda categoría de relaciones aditiva que trabajó Vergnaud es cuando una transformación opera sobre una medida para dar lugar a otra medida. Contrastando lo que dice Belmonte quien es mencionado anteriormente en la explicación de la primera categoría, nos dice que “Se trata de fenómenos en los que se produce una modificación en el devenir cronológico de los estados de las medidas, pasando de un estado inicial (m₁) a un estado final (m₂) mediante una transformación (t).

El trabajo dentro de las aulas debe ser con números que puedan representarse o trabajarse sin mucha dificultad para los infantes, recordando como dice Nunes y Bryant que los números tienen sentido cuando se refieren a objetos. Lo importante es que entiendan que dentro del análisis a los planteamientos escritos, vaya la comprensión lectora al problema y tareas que implica se entienda que es un fenómeno en un espacio de tiempo sea ficticio o real donde se perciba claramente  un inicio, un proceso y un final; el proceso es precisamente esa transformación que se requiere para completar la relación estructural en el los momentos que sugiere el desafío.

Los seis clases o tipos que arroja la segunda categoría ya se han ejemplificado, aquí se retoman para entender precisamente ese aumento o disminución que pueden ocurrir en cualquiera de los estados inicial y final o en el propio proceso de transformación. En los ejemplos que la literatura nos da, acude a situaciones como ver medidores de bombas de gasolina o datos de censos, vamos a intentar con problemas que se apeguen a lo inmediato que puede ver un alumno de un medio rural y que estudia en una escuela multigrado como lo son la mayoría de las escuelas en nuestro país particularmente en el estado de Durango.

Es más fácil resolver problemas de la categoría uno porque sólo implica comprender la relación que hay en el universo del problema cuyas partes componen ese todo. En la segunda categoría como ya se dijo hay seis clases; la clase o tipo 1 es la aplicación de una transformación (aditiva) a una medida inicial para encontrar la respuesta que estará en la medida final, es similar a la clase 4, la diferencia se encuentra únicamente en que la transformación es sustractiva y cuando se trata de quitar es necesario que la medida inicial sea mayor.

La clase 2 y 5 implican mayor concentración para su solución, en este tipoa y c, entonces b es diferencia entre c y a, la sustracción estaría entrando dentro de las complejidades que hay dependiendo de la problematización que se haga.

de problemas, se conoce la medida inicial y final, la transformación aditiva en la clase 2 será sustractiva en la clase 5 pero además allí es donde se buscará respuesta a la pregunta planteada. Al estar la incógnita en la transformación, el docente debe prever que la complejidad aumenta y dar pistas que en el añadir para el tipo 2 y quitar para el tipo 5 mentalmente podrán simbolizar ese paso temporal del estado inicial al final; es decir complementar. Se podría establecer el resultado mediante una diferencia ya que si b es complemento entre

El tipo 3 y 6 para enunciar estos tipos, citaré a Vergnaud que confrontado con Belmonte es prácticamente lo mismo:

“El cálculo relacional, que implica la solución de problemas de la clase 3 y 6 es todavía más complejo, ya que la solución canónica (válida en todos los casos) implica la inversión de la transformación directa y el cálculo del estado inicial por la aplicación del estado final de dicha transformación inversa…

Proponen como estrategia el complemento, lo que hay que añadir a b para encontrar c (únicamente si se puede hacer cálculo mental y es positivo)  y  el estado inicial hipotético. A un estado inicial (hipotético) aplicarle la transformación directa, encontrar el estado final y corregir la hipótesis inicial.

Y concluyen que estas clases (las seis) no son homogéneas… la complejidad no se puede atribuir al tipo que pertenecen sino también al tipo de información, el orden y la escritura de números complejos que puedan hacer más difícil un problema de tipo 1 a uno de tipo 3 aunque la teoría diga que es lo contrario.

Libro de matemáticas primer grado

Ejemplos para las clases o tipos.

Para la clase 3  (transformación aditiva) podemos crear problemas como:

• A la huerta de don Pedro en Borbollones el último año se le plantó 50 manzanos, actualmente tiene 250 manzanos, ¿Cuántos manzanos tenía antes de la última plantación de árboles?
• En la huerta de don Pedro hay 250 manzanos, si se plantaron 50 últimamente, ¿cuántos manzanos había inicialmente?

Se puede trabajar estrategias como complementar, para eso se requiere que los números se presten al cálculo y la transformación positiva, entonces un alumno de sexto o quinto pude sumar 200 y 50 y entender que 200 es el número que se busca. Por estado inicial hipotético, puede decir que antes había 100 ó 200 e ir añadiendo (de 50 en 50) hasta encontrar 250. O finalmente entender que se puede hacer una sustracción al estado final menos la transformación; si nos fijamos la transformación es positiva entonces podemos hacer una resta.

La clase 6 (transformación sustractiva) la podemos ejemplificar así:

• En el grupo de cuarto grado de la escuela “Gral. Francisco Villa” de El Salto, Dgo., se han dado de baja 13 alumnos, si para final de ciclo terminaron 58, ¿Qué cantidad de alumnos había al inicio del ciclo escolar?

 El estado hipotético inicial podría arrancar en 100, recordando que aquí estamos ejemplificando posible estrategia, hasta llegar a un resultado cercano y encontrar la respuesta como lo explica la imagen. Al problema no se observa estrategia de complementación ya que la transformación es negativa. La segunda estrategia es realizar pero una adición, al estado final se suma la transformacional; la transformación es negativa pero para efecto de encontrar la respuesta se añade 13 a 58 para llegar al 71; mientras que en el ejemplo para la clase 3 a  250 se quita 50 (aunque la transformación es positiva) aquí se suma aunque la transformación del esquema es negativa pues se parte del estado final al estado inicial estratégicamente para encontrar una solución... complejo para el niño, verdad... 

Para el tipo 2 (transformación positiva) se plantean el siguiente ejemplo:

• Cruz fue a Palmarito a comprar cabras  y así diversificar su ganado, si ahora tiene 240 y antes contaba con 160, ¿Qué cantidad de cabras compró en Palmarito?

El tipo 5 (transformación negativa)

• Los ejidatarios de La Campana cortaron este mes pinos en el predio de don Luis, si el mes pasado había 120  y este mes quedan 85, ¿Cuántos pinos son los que cortaron?

En ambos se puede llegar bajo el mismo procedimiento, complementar en el ejemplo del tipo 2 y en el tipo 5 ir restando al estado inicial hasta encontrar el estado final... en ambos la incógnita o respuesta que se busca esta en la transformación. Para ambas también se llega mediante la sustracción cuidando que esta se pueda efectuar colocando en primer lugar la medida mayor.

Para el tipo 1 y 4 que son los que menos dificultad ofrecen, se debe de seguir el movimiento temporal del antes  que es la medida inicial, durante que es la transformación para encontrar el después o estado final que nos daré la medida final y la repuesta por ser donde se encuentra la incógnita. Los ejemplos son:

• La ruta de pasajeros que sale de Neveros partió con 13 personas, en las diferentes paradas antes de llegar El Salto subieron 12, ¿Cuántos llegaron a El Salto? (TRANSFORMACIÓN POSITIVA)
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• El maestro de Las Adjuntas recibió 60 lápices para que los regale a los alumnos, ya dio 20 a los alumnos de segundo, ¿Qué cantidad de lápices le queda? (TRANSFORMACIÓN NEGATIVA)

Quedan así ejemplificadas las seis clases de la categoría dos y sólo espero que haya comentarios al respecto con el afán de mejorar.

Los problemas de tipo aditivo: composición de medidas... primera categoria

Los problemas de tipo aditivo: composición de medidas.

Hurgando en algunos textos enfocados en el estudio y análisis de problemas que impliquen el uso de la adición (y sustracción) para encontrar su solución, me encuentro información que confrontada nos lleva a la una misma fuente, a la teoría que plasma en su libro El niño, las matemática y la realidad, escrito por Gérard Vergnaud en el capítulo Los problemas de tipo aditivo, nos muestra las seis categorías de relaciones aditivas que se presentan cuando se plantean problemas a los niños en la escuela primaria. De manera somera, en un blog anterior inicié el tema que es retomado con el afán de mostrar más información al respecto.

En este trabajo se centrará en la primera categoría y sus dos tipos de planteamientos que se presentan. Primero, es necesario señalar que Terezinha Nunes y Peter Bryant en su texto Las matemáticas y su aplicación: la perspectiva del niño, cuenta con interesantes planteamientos aunque estos autores dicen en el libro difieren en algunos aspectos pero que aquí no se tratarán, sino que se contrastarán las aportaciones.

La primera categoría enunciada por Vergnaud es: dos medidas se componen para dar lugar a otra medida, y aclara que todas las relaciones aditivas son a la vez relaciones ternarias, esto es cuando tres elementos se relacionan entre sí… y por tanto en las adiciones puede haber diversas estructuras que surgen de los planteamientos. Entonces en esa relación de la primera categoría intervienen únicamente medidas y el resultado es por tanto otra medida. Es pertinente recordar que sólo los números naturales pueden representar una medida y en los esquemas se representará con un rectángulo.

Aquí es primordial acudir a las aportaciones de Nunes y Bryant quienes investigaron al respecto con niños de los primeros grados y de preescolar en Brasil. Las coincidencias con Vergnaud son los que ellos llaman situaciones parte-todo donde no opera ninguna trasformación, sino que las medidas son parte de un mismo universo y no se necesita hacer alguna trasformación que es característica que se observa a partir de la segunda categoría y que en este trabajo no se analizará. 

A los problemas o situaciones que se pueden representar en esta categoría fue llamada los números como medidas estáticas y coincide que se puede plantear dos formas de problemas, la primera donde se mencionen las (dos) partes y se pide que encuentre el todo como respuesta y la segunda donde se les dice el todo y un dato de una parte para que encuentre la respuesta en el segundo dato de la parte.

En los problemas es común emplear cantidades continúas y es fácil reconocerlas como medidas, pero también las cantidades discretas o paquetes que conforman un conjunto son medidas que nos permiten encontrar o conocer el tamaño de dicha colección.

Juan Miguel Belmonte Gómez en el quinto capítulo del libro Didáctica de las matemáticas se adentra en el estudio de los problemas aditivos y sustractivos. Llamó a esta categoría problemas de composición de medidas, en los ejemplos que Nunes y Bryant se ejemplifican esa relación parte todo con elementos homogéneos, es decir, la medida 1 y la medida 2 son elementos iguales que únicamente cambia una característica ya sea el color o tamaño pero siguen perteneciendo a una misma campo y Belmonte agrega que en esta categoría se pueden incluir en los problemas elementos heterogéneos y que en el resultado se agregue el hiperónimo del conjunto. Ejemplo de homogeneidad: medida 1 X peces verdes, medida 2 X peces naranjas… da lugar a un todo donde se emplee  la palabra peces en el resultado. Ejemplo de heterogeneidad: medida 1 X  guajolotes, medida 2 X caballos… da lugar a un todo donde al resultado se añade la palabra animales.

Entonces estamos de acuerdo a la primera categoría se puede encontrar dos tipos de problematización, y es la forma más común de plantear desafíos a los alumnos… de allí la importancia que el docente conozca y trabaje este tipo de problemas donde se implica sólo el uso de números que representan medidas y no requiere trasformaciones, con madurez poco a poco introducir estrategias sustractivas pero siempre empleando elementos gráficos acompañado posteriormente del uso de operaciones. Se ejemplifica con problemas donde se usan números pequeños sólo para entender la mecánica que debe llevar a apropiarse de los conceptos y procesos donde se emplean MEDIDAS.

1. Problemas donde la respuesta a la pregunta es el resultado (EL TODO) de la suma de dos medidas (primer tipo de la categoría 1)

 

·         En una pecera hay 7 peces naranjas y 6 peces verdes, ¿cuántos peces hay en la pecera?

·         Dentro de un corral se encuentran 7 guajolotes y 6 caballos, ¿qué cantidad de animales hay en el corral?

En este primer tipo de preguntas están claramente establecidas las medidas y por supuesto se observa que son contables, su resultado también es una medida, se cumple la ley de composición que es la adición de dos números naturales… dos números que representa algo contable y cuyo resultado los aglutina… 13 peces o 13 animales; peces naranjas + peces verde = peces  y guajolotes + caballos = animales. Belmonte dice que es el tipo de problemas que se les presenta casi siempre por primera vez a los niños, pero desafortunadamente al aplicarles un ejercicio por lo regular se incluyen o plantean situaciones donde necesariamente deba realizar transformaciones sin antes haberlas trabajado.

 2. Problemas donde la respuesta  a la pregunta es el resultado (UNA PARTE DEL TODO) de la suma de dos medidas (segundo tipo de la categoría 1)

·         De los 32 miembros de mi familia que viven en La Comarca, a 18 miembros les gusta el fútbol y le van al Santos y el resto el béisbol y apoyan a Vaqueros, ¿qué cantidad de miembros les gusta el béisbol y apoya a Vaqueros?

Comprender que se trata de un todo o universo donde hay dos grupos o partes es la parte primera que se debe entender en el planteamiento, de allí pasar a buscar la solución representando a cada miembro en su respectivo grupo… con bloques físicos, figuras, piedras o cualquier material; posteriormente el uso de la operación. La forma más económica para un adulto o alumno avanzado es realizar una sustracción, pero es importante trabajar la adicción y que la resta sea un descubrimiento inducido por el maestro, es decir, sabemos que la respuesta rápida y deseable sería una resta (32 – 18 = x), pero lo adecuado primero es una adición con huecos como dice J. Miguel Belmonte (18 + x = 32) para que averigüen mediante representaciones. La resta sería cuando ya se domina el proceso y se comprende la relación que existe con la suma.

Como ya se mencionó, si el alumno acompañado del docente trabaja y comprende las dos posibilidades donde consigue la respuesta al leer un desafío que se trata de problemas de tipo aditivo de la categoría uno, entonces podrá aumentarle la complejidad de acuerdo a su grado.

Espero sea de utilidad la información plasmada en el presente trabajo.